ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 316: Построение треугольника по трём элементам
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Доказать равенство углов исходного треугольника и двух образовавшихся треугольников (соответственно).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Проведём высоту CH к гипотенузе AB. Высота разбивает исходный треугольник на два новых: ACH и CBH. Нам нужно доказать, что углы этих трёх треугольников попарно равны. Для этого воспользуемся свойством суммы острых углов в прямоугольном треугольнике (она равна 90°) и тем фактом, что высота перпендикулярна основанию.
Ход вычислений и рассуждений:
- В исходном треугольнике ABC имеем ∠C=90°. Следовательно, сумма острых углов равна: ∠A+∠B=90°
- Рассмотрим треугольник ACH. Так как CH — высота, то ∠AHC=90°. Значит, сумма двух других его углов также равна 90°: ∠A+∠ACH=90°
- Сравним равенства из пунктов 1 и 2. Из первого выражения выразим ∠B=90°-∠A, а из второго — ∠ACH=90°-∠A. Отсюда следует, что ∠B=∠ACH
- Теперь рассмотрим второй образовавшийся треугольник CBH. В нём угол ∠CHB=90°. Сумма острых углов: ∠B+∠BCH=90°
- Из пункта 1 знаем, что ∠A=90°-∠B. Из пункта 4 знаем, что ∠BCH=90°-∠B. Следовательно, ∠A=∠BCH
- Также очевидно, что прямой угол исходного треугольника ∠C равен прямым углам при основании высоты: ∠ACB=∠AHC=∠CHB=90°.
Проверка результата:
Мы доказали три пары равенств: 1) ∠A=∠BCH; 2) ∠B=∠ACH; 3) ∠C=∠AHC=∠CHB=90°. Это полностью подтверждает утверждение задачи: углы исходного треугольника равны соответствующим углам двух образовавшихся треугольников. Логика непротиворечива, так как мы опирались только на аксиому о сумме углов треугольника и определение высоты.
Доказано, что ∠A=∠BCH, ∠B=∠ACH, а прямые углы совпадают.
Задача классическая на подобие прямоугольных треугольников, но формулировка требует именно доказательства равенства углов. Ключевое здесь — использование свойства дополнения до 90 градусов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 316 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 316?
Краткий ответ: Доказано, что A = BCH, B = ACH, а прямые углы совпадают.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.