ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 320: Построение треугольника по трём элементам

План решения. Чтобы сравнить периметры треугольников ABC и ARC, запишем формулы для их вычисления. Периметр — это сумма длин всех сторон. Нам нужно показать, что разность между периметром большого треугольника и периметром меньшего положительна. Ключевым моментом будет использование свойства высоты в остроугольном треугольнике: основание высоты лежит внутри стороны, на которую она опущена.

Вычисление и доказательство. 1. Запишем периметр треугольника ABC: P_ABC=AB+BC+AC 2. Запишем периметр треугольника ARC: P_ARC=AR+RC+AC 3. Сравним эти выражения. Заметим, что сторона AC является общей для обоих треугольников. Поэтому достаточно сравнить суммы остальных слагаемых: (AB+BC) и (AR+RC). 4. Так как AR — высота треугольника ABC, то AR⊥BC. В прямоугольном треугольнике ARB (так как угол ARB=90^°) катет AR всегда меньше гипотенузы AB. Следовательно, выполняется неравенство: AR<AB 5. Поскольку треугольник ABC остроугольный, основание высоты R лежит строго между точками B и C. Это означает, что отрезок RC является частью отрезка BC. Следовательно, длина RC меньше длины всей стороны BC: RC<BC 6. Сложим два полученных неравенства (AR<AB и RC<BC): AR+RC<AB+BC 7. Прибавим к обеим частям этого неравенства общую сторону AC: AR+RC+AC<AB+BC+AC 8. Левая часть неравенства — это периметр треугольника ARC, а правая — периметр треугольника ABC. Таким образом, мы получили: P_ARC<P_ABC

Проверка. Логика доказательства опирается на два фундаментальных факта геометрии: катет меньше гипотенузы в прямоугольном треугольнике и часть целого меньше самого целого. Условие «остроугольный» гарантирует, что точка R не совпадает с вершинами B или C и не выходит за пределы отрезка BC, поэтому строгие неравенства AR<AB и RC<BC верны. Доказательство завершено.