ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 321: Построение треугольника по трём элементам

План доказательства.

Рассмотрим треугольник ABC и проведённый в нём отрезок AM, где точка M лежит на стороне BC. Нам нужно доказать, что длина отрезка AM меньше длины большей из сторон AB или AC. Без ограничения общности предположим, что сторона AC является наибольшей, то есть AC>AB. Тогда достаточно доказать неравенство AM<AC.

Ход вычислений и рассуждений.

1. Так как точка M лежит на стороне BC, луч AM находится внутри угла BAC. Следовательно, угол MAC строго меньше угла BAC: ∠MAC<∠BAC. 2. В треугольнике ABC против большей стороны лежит больший угол. Поскольку по условию мы считаем AC>AB, то угол при вершине B больше угла при вершине C: ∠ABC>∠BCA. 3. Рассмотрим внешний угол треугольника ABM при вершине M. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Поэтому для треугольника ABM имеем: ∠AMC=∠BAM+∠ABM. Отсюда следует, что ∠AMC>∠ABM. 4. Теперь соединим полученные неравенства. Из пункта 2 знаем, что ∠ABM (он же ∠ABC) больше ∠BCA (он же ∠C). А из пункта 3 знаем, что ∠AMC больше ∠ABM. По транзитивности неравенств получаем: ∠AMC>∠ABM>∠C, то есть ∠AMC>∠C.

Заключение и проверка.

В треугольнике AMC мы доказали, что угол AMC больше угла C. Согласно теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника, против большего угла лежит большая сторона. Угол AMC лежит против стороны AC, а угол C — против стороны AM. Следовательно, AC>AM. Это означает, что отрезок AM меньше стороны AC. Если бы наибольшей была сторона AB, аналогичным образом можно было бы доказать, что AM<AB. Таким образом, отрезок AM всегда меньше большей из двух других сторон треугольника. Что и требовалось доказать.