ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 323: Построение треугольника по трём элементам

План решения. Задача на построение прямоугольного треугольника сводится к последовательному выполнению базовых операций: откладыванию отрезков, построению углов и проведению перпендикуляров. Для каждого пункта (а, б, в) мы будем использовать известные свойства прямоугольного треугольника и стандартные алгоритмы геометрических построений с помощью циркуля и линейки.

Вычисление и построение.

• а) По гипотенузе c и острому углу α.
  1. Проведём прямую и отложим на ней отрезок AB, равный данной гипотенузе c.
  2. В точке A построим угол, равный данному α. Пусть одна сторона угла совпадает с отрезком AB, а вторая — луч AX.
  3. Находим середину отрезка AB и строим окружность с центром в этой середине и радиусом R=c/2. Эта окружность является описанной около искомого треугольника, так как центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
  4. Точка пересечения луча AX с построенной окружностью (отличная от точки A) будет вершиной C искомого треугольника.
  5. Соединяем точки B и C. Треугольник ABC — искомый.
• б) По катету a и противолежащему углу β.
  1. Отложим произвольный отрезок BC, равный данному катету a.
  2. Построим угол, равный данному β, при вершине C так, чтобы одна его сторона содержала отрезок CB. Пусть другая сторона — луч CY.
  3. Так как угол β лежит против катета a, то сам катет a является стороной BC, а угол при вершине C равен 90^°-β? Нет, по условию дан противолежащий угол. Значит, если катет a лежит напротив угла β, то угол β находится при вершине A. Но мы не знаем точку A. Давайте переформулируем: дан катет a и угол β, лежащий против него.
     1. Построим прямой угол ∠XOY=90^°.
     2. На одной из сторон прямого угла (например, OX) отложим отрезок OA, равный данному катету a.
     3. Теперь нужно построить второй катет или гипотенузу. Угол β лежит против катета a. Значит, он прилегает к другому катету. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90^°. Если один острый угол равен β, то другой острый угол равен 90^°-β. Этот второй угол (90^°-β) прилегает к катету a.
     4. При вершине A построим угол, равный 90^°-β, так, чтобы одна сторона совпадала с AO, а другая шла внутрь прямого угла XOY. Пусть эта сторона пересекает сторону OY в точке B.
     5. Треугольник AOB — искомый. Катет OA=a, угол при вершине B равен β (так как угол при A равен 90^°-β, а угол O=90^°, то угол B=180^°-90^°-(90^°-β)=β).
• в) По гипотенузе c и катету a.
  1. Проведём прямую и отложим на ней отрезок AB, равный данной гипотенузе c.
  2. Строим окружность с диаметром AB (центр в середине AB, радиус c/2).
  3. Из конца катета (допустим, точка A) проводим дугу радиусом, равным данному катету a. Точка пересечения этой дуги с окружностью, построенной на диаметре AB, будет третьей вершиной C.
  4. Соединяем C с A и B. Треугольник ABC — искомый. Угол ACB опирается на диаметр, поэтому он прямой. Гипотенуза AB=c, катет AC=a.

Проверка. Во всех случаях полученные треугольники удовлетворяют заданным условиям: наличие прямого угла обеспечено либо конструкцией (пункт б), либо свойством угла, опирающегося на диаметр (пункты а, в). Длины сторон и величины углов соответствуют данным элементам.