ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 327: Построение треугольника по трём элементам

План решения.

Нам дан равносторонний треугольник ABC, значит, все его стороны равны (AB=BC=CA) и все углы равны 60^°. Точка B₁ лежит на стороне AC. Нам нужно найти точки A₁ на BC и C₁ на AB так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ также был равносторонним. Это означает, что должны выполняться условия: A₁B₁=B₁C₁=C₁A₁ и △A₁B₁C₁ имеет углы по 60^°.

Вычисление и построение.

Рассмотрим три «угловых» треугольника, которые образуются при вычитании внутреннего треугольника A₁B₁C₁ из большого ABC: это △AC₁B₁, △BA₁C₁ и △CB₁A₁ (обратите внимание на порядок вершин для соответствия сторон).

Пусть сторона большого треугольника равна a. Обозначим отрезки на сторонах следующим образом: AC₁=x, тогда C₁B=a-x. BA₁=y, тогда A₁C=a-y. CB₁=z, тогда B₁A=a-z.

Для того чтобы внутренний треугольник был равносторонним, часто используют симметрию или равенство соответствующих элементов. Попробуем предположить, что треугольники △AC₁B₁, △BA₁C₁ и △CB₁A₁ равны между собой. Если они равны, то их соответствующие стороны будут равны, а значит, и стороны внутреннего треугольника C₁B₁, A₁C₁, B₁A₁ будут равны.

Условия равенства этих трех треугольников по двум сторонам и углу между ними (признак SAS): 1. Углы при вершинах A,B,C равны 60^°. 2. Чтобы △AC₁B₁≅△BA₁C₁≅△CB₁A₁, необходимо, чтобы катеты, прилежащие к углам 60^°, были циклически равны. То есть: AC₁=BA₁=CB₁ и AB₁=BC₁=CA₁.

Обозначим длину меньшего отрезка через k. Пусть AC₁=k. Тогда из условия цикличности: BA₁=k CB₁=k Следовательно, остальные части сторон: AB₁=AC-CB₁=a-k BC₁=AB-AC₁=a-k CA₁=BC-BA₁=a-k Таким образом, если мы выберем точки так, что AC₁=BA₁=CB₁=k, то получим три равных треугольника с сторонами k и a-k и углом 60^° между ними. По теореме косинусов третья сторона каждого такого треугольника будет одинаковой: L²=k²+(a-k)²-2k(a-k)1/2=k²+(a-k)²-k(a-k) Это гарантирует, что C₁B₁=A₁C₁=B₁A₁, то есть треугольник A₁B₁C₁ — равносторонний.

Проверка и ответ.

В условии задачи точка B₁ уже задана на стороне AC. Это фиксирует значение z=CB₁. Следовательно, длина k должна быть равна именно этому расстоянию CB₁. Значит, алгоритм построения следующий: 1. Измерьте расстояние CB₁. Пусть оно равно k. 2. На стороне AB отложите отрезок AC₁=k (от вершины A). 3. На стороне BC отложите отрезок BA₁=k (от вершины B). 4. Соедините точки A_1,B_1,C₁.

Проверим ключ из учебника: «На сторонах BC и AB построить точки A_1 и C_1, так, чтобы BA₁=AC₁=CB». В ключе написано CB, но CB — это вся сторона треугольника, а не отрезок до точки B₁. Вероятно, в ключе опечатка или подразумевается CB₁. Однако, строго следуя логике геометрии, для произвольной точки B₁ условие BA₁=AC₁=CB₁ является необходимым и достаточным для получения равностороннего треугольника A₁B₁C₁.

Если бы точка B₁ была серединой стороны, то CB₁=a/2, и тогда A₁ и C₁ тоже были бы серединами своих сторон. Но так как B₁ произвольная, то A₁ и C₁ определяются через длину CB₁.