ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 331: Построение треугольника по трём элементам

План решения:

Чтобы найти геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух пересекающихся прямых, нужно вспомнить свойства углов и биссектрис. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если точка находится внутри угла, образованного двумя прямыми, то она равноудалена от сторон этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссектрисе этого угла.

Вычисление и обоснование:

Пусть две прямые a и b пересекаются в точке O. Они образуют четыре угла: два вертикальных и две пары смежных. Рассмотрим произвольную точку M, которая равноудалена от прямых a и b. Пусть MK⊥a и ML⊥b, причём MK=ML.

Рассмотрим прямоугольные треугольники △MOK и △MOL. В них гипотенуза MO общая, а катеты MK и ML равны по условию. Следовательно, эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих острых углов: ∠MOK=∠MOL. Это означает, что луч OM является биссектрисой одного из углов, образованных прямыми a и b.

Так как прямые пересекаются, они образуют две пары вертикальных углов. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. Таким образом, все точки, равноудалённые от данных прямых, лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов между данными прямыми.

Проверка:

Возьмём любую точку на одной из этих двух прямых-биссектрис. По свойству биссектрисы угла, любая её точка равноудалена от сторон угла. Поскольку стороны углов лежат на исходных прямых a и b, то выбранная точка действительно равноудалена от этих прямых. Наоборот, если точка не лежит ни на одной из биссектрис, то расстояния до прямых будут различными (так как проекции точки на прямые дадут неравные отрезки при сравнении с симметрией относительно биссектрисы).