ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 337: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

План доказательства:

Для решения задачи воспользуемся методом от противного. Предположим, что хотя бы одна из данных равных хорд является диаметром. Используя свойства диаметра и равенство хорд, придем к противоречию с тем, что точки A, B и C образуют треугольник (то есть не лежат на одной прямой).

Ход рассуждений:

Дано: окружность с центром O, хорды AB и AC таковы, что AB=AC. Требуется доказать: ни AB, ни AC не являются диаметрами.

Предположим обратное: пусть хорда AB является диаметром окружности. Тогда длина этой хорды равна удвоенному радиусу: AB=2R.

По условию задачи вторая хорда AC равна первой, то есть AC=AB. Следовательно, AC=2R.

В окружности единственной хордой, длина которой равна диаметру (2R), является сам диаметр. Это следует из того, что для любой другой хорды, проходящей через точку A, её проекция на диаметр меньше самого диаметра, либо можно рассмотреть прямоугольный треугольник, вписанный в полуокружность, где гипотенуза — это диаметр, а катет — любая другая хорда, выходящая из конца диаметра. Катет всегда строго меньше гипотенузы.

Таким образом, если AC=2R, то хорда AC также должна быть диаметром. Значит, оба отрезка AB и AC проходят через центр O.

Если две различные хорды AB и AC имеют общую начальную точку A и обе являются диаметрами, то они должны лежать на одной прямой, проходящей через центр O. В этом случае точки B, O и C коллинеарны, а так как AB и AC — диаметры, исходящие из A, то точки B и C симметричны относительно центра O или совпадают с ним (что невозможно для хорд). Более точно: если AB — диаметр, то B лежит на продолжении AO. Если AC — диаметр, то C тоже лежит на продолжении AO. Поскольку AB=AC, точки B и C совпадают. Но тогда мы имеем дело не с двумя различными хордами, образующими угол при вершине A, а с одним и тем же отрезком. Или, если считать их разными направлениями, то угол βAC равен 180^°, и точки B,A,C лежат на одной прямой.

Однако по смыслу задачи «хорды AB и AC» подразумевают три различные точки A,B,C на окружности, которые обычно рассматриваются как вершины треугольника или просто разные концы хорд. Если B и C совпадают, то это одна и та же хорда. Если B и C различны, но лежат на одной прямой с A, то один из них должен быть противоположным концом диаметра, а второй... нет, из точки A может выходить только один диаметр. Второй конец этого диаметра — единственная точка B. Любая другая точка C на окружности даст хорду AC<2R.

Следовательно, предположение о том, что AB является диаметром, приводит к тому, что AC также должен быть диаметром, что возможно только если B=C (совпадение точек) или если мы нарушаем условие существования двух различных хорд, соединяющих одну точку с двумя другими точками окружности, не лежащими на одном диаметре. В стандартной геометрической постановке, если даны две хорды AB и AC, подразумевается, что B≠C. При B≠C не могут одновременно выполняться условия AB=2R и AC=2R, так как из точки A выходит единственный диаметр.

Значит, наше предположение неверно. Хорда AB не является диаметром. Аналогично доказывается, что и хорда AC не является диаметром.

Проверка:

Рассмотрим конкретный пример. Пусть радиус окружности R=5. Диаметр равен 10. Возьмем точку A на окружности. Единственная точка B, такая что AB=10, находится diametrically opposite to A. Если мы возьмем любую другую точку C на окружности, отличную от B, то расстояние AC будет меньше 10 (так как максимальное расстояние между двумя точками окружности равно диаметру). Чтобы AC=AB=10, точка C должна совпасть с B. Но тогда у нас нет двух различных хорд AB и AC (это одна и та же хорда). Следовательно, для двух различных хорд, исходящих из одной точки, их длина не может быть равна диаметру.