ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 341: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

План доказательства:

Чтобы доказать утверждение, нам нужно сравнить расстояния от центра окружности до двух равных хорд. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Следовательно, мы проведём два перпендикуляра из центра O к данным хордам и покажем, что полученные прямоугольные треугольники равны.

Ход решения:

Пусть дана окружность с центром в точке O. Пусть AB и CD — две равные хорды этой окружности, то есть AB=CD. Проведём из центра O перпендикуляры к этим хордам: OK⊥AB и OM⊥CD, где K и M — основания перпендикуляров (точки на хордах). Нам нужно доказать, что OK=OM.

Рассмотрим треугольники △OKB и △OMD. 1) Так как OK⊥AB и OM⊥CD, то углы ∠OKB и ∠OMD являются прямыми (90^°). 2) Гипотенузы OB и OD равны, так как они являются радиусами одной и той же окружности (OB=OD=R). 3) Катеты KB и MD равны. Действительно, по свойству перпендикуляра, опущенного из центра на хорду, он делит хорду пополам. Значит, KB=1/2AB, а MD=1/2CD. По условию AB=CD, следовательно, их половины также равны: KB=MD.

Таким образом, прямоугольные треугольники △OKB и △OMD равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: OK=OM.

Проверка и вывод:

Мы получили, что длины перпендикуляров, опущенных из центра на равные хорды, равны. Это и означает, что равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Утверждение доказано.