ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 345: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

План доказательства:

Для решения задачи воспользуемся свойством касательной к окружности: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Также вспомним признак параллельности прямых: если две прямые перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой.

Ход решения:

1. Пусть дана окружность с центром O и диаметром AB. Точки A и B лежат на окружности.
2. Проведем касательную a к окружности в точке A. По определению касательной, она перпендикулярна радиусу OA, то есть a⊥OA.
3. Проведем касательную b к окружности в точке B. Аналогично, эта касательная перпендикулярна радиусу OB, то есть b⊥OB.
4. Так как отрезки OA и OB являются частью одного и того же диаметра AB, то прямая, содержащая отрезок AB, совпадает с прямыми, содержащими отрезки OA и OB. Обозначим эту прямую как d.
5. Из пунктов 2 и 3 следует, что касательная a перпендикулярна прямой d (a⊥d), и касательная b также перпендикулярна прямой d (b⊥d).

Вывод:

Поскольку обе касательные a и b перпендикулярны одной и той же прямой d (содержащей диаметр), то по признаку параллельности прямых они параллельны друг другу: a∥b. Что и требовалось доказать.