ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 348: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

План решения.

Для доказательства равенства отрезков AB и CD воспользуемся свойством касательных, проведённых из одной точки к окружности. Поскольку обе окружности вписаны в один и тот же угол, их центры лежат на биссектрисе этого угла. Это означает, что вершина угла равноудалена от точек касания каждой из окружностей со сторонами угла. Нам нужно выразить длины отрезков AB и CD через расстояния от вершины угла до точек касания и показать их равенство.

Вычисление и доказательство.

Обозначим вершину угла за точку M. Пусть первая окружность с центром O₁ касается сторон угла в точках A и D, а вторая окружность с центром O₂ — в точках B и C. Так как MA и MD — отрезки касательных, проведённых из точки M к первой окружности, то по теореме о касательных:

Аналогично, для второй окружности, так как MB и MC — отрезки касательных из той же точки M:

Точки A и B лежат на одной стороне угла, а точки D и C — на другой. Без ограничения общности предположим, что порядок точек на стороне угла таков: M,A,B (или M,B,A). Длина отрезка AB равна модулю разности длин отрезков MB и MA:

Длина отрезка CD равна модулю разности длин отрезков MC и MD:

Подставив ранее полученные равенства (MB=MC и MA=MD) во второе выражение, получаем:

Следовательно, AB=CD.

Проверка.

Логика доказательства опирается исключительно на фундаментальное свойство касательных к окружности из внешней точки. Расположение центров на биссектрисе гарантирует симметрию относительно стороны угла, но само равенство отрезков следует непосредственно из равенства длин касательных. Если бы одна окружность была больше другой, точки касания смещались бы вдоль лучей угла одинаково с обеих сторон, сохраняя разность длин постоянной. Таким образом, утверждение верно при любом взаимном расположении вписанных в угол окружностей.