ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 352: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Окружность с центром O имеет радиус 4,5 см. Из внешней точки A (OA = 9 см) проведены две касательные. Найти угол между касательными.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для нахождения угла между касательными рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные центром окружности O, точкой касания и внешней точкой A. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике для нахождения половины искомого угла.
Вычисление:
Пусть B — точка касания одной из касательных с окружностью. Тогда отрезок OB является радиусом, а отрезок AB — частью касательной. По свойству касательной, OB⊥AB, то есть треугольник △ABO — прямоугольный с прямым углом при вершине B.
В этом треугольнике нам известны:
- катет OB=R=4,5 см (радиус окружности);
- гипотенуза OA=9 см (расстояние от центра до внешней точки).
Найдём синус угла ∠OAB (обозначим его как α):
sinα=OB/OA=4,5/9=1/2Так как α — острый угол в прямоугольном треугольнике, то α=30°.
По симметрии, вторая касательная образует с отрезком OA такой же угол 30°. Следовательно, полный угол между двумя касательными равен сумме этих двух углов:
∠BAC=2·α=2·30°=60°Проверка:
Если угол между касательными равен 60°, то треугольник, образованный двумя касательными и хордой точек касания, был бы равносторонним (если бы мы рассматривали другой подход), но здесь проще проверить через косинус угла при центре. Угол ∠AOB=90°-30°=60°. Аналогично для второй стороны угол ∠AOC=60°. Сумма углов вокруг точки O в четырёхугольнике ABOC: ∠B+∠C=90°+90°=180°, значит ∠A+∠O=180°. ∠O=120°, тогда ∠A=180°-120°=60°. Расчёт верен.
60°
Использовано свойство касательной (перпендикулярность радиусу) и определение синуса в прямоугольном треугольнике. Так как sin(alpha) = 1/2, то alpha = 30 градусов. Искомый угол удваивается.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 352 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 352?
Краткий ответ: 60°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.