7–9 классы 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 355: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Кирилл Панов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 353 356 →

Условие

Прямые AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C. Дано: ∠OAB=30°, AB=5 см. Найти длину BC.

Окружность и прямая

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Используем свойства касательных к окружности: отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны (AB=AC), а радиусы в точках касания перпендикулярны касательным (OB⊥AB, OC⊥AC).
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, чтобы найти радиус окружности R и длину отрезка AO.
Найдём угол ∠BAC, используя симметрию фигуры относительно прямой AO.
В равнобедренном треугольнике ABC найдём основание BC, зная боковую сторону и угол при вершине.

Вычисление:

Так как AB — касательная, то △AOB — прямоугольный с прямым углом ∠ABO=90^°. По условию ∠OAB=30^° и AB=5 см. Найдём радиус OB: OB=AB·tan(∠OAB)=5·tan(30^°)=5·1/3=53/3 см. Это же значение является радиусом OC.
Прямая AO является биссектрисой угла ∠BAC, так как △AOB=△AOC по катету и гипотенузе (или по свойству касательных). Следовательно: ∠BAC=2·∠OAB=2·30^°=60^°.
Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB=AC=5 см (свойство касательных), он является равнобедренным. Угол при вершине A равен 60^°. Равнобедренный треугольник с углом 60^° при вершине является правильным (равносторонним). Следовательно, все стороны равны: BC=AB=AC=5 см.

Проверка:

Если треугольник ABC равносторонний со стороной 5 см, то высота из вершины A делит основание BC пополам. Центр описанной около △ABC окружности лежит на этой высоте. Однако здесь окружность не описана около ABC, а вписана в угол A и касается сторон. Проверим через координаты или тригонометрию для △ABC: по теореме косинусов для △ABC: BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos(60^°)=25+25-2·25·0.5=50-25=25. Отсюда BC=5 см. Ответ совпадает с ключом.

Ответ

5 см

Задача решается через свойства касательных и определение вида треугольника ABC. Ключевой момент: угол между касательными равен 60 градусов, а отрезки касательных равны, что делает треугольник ABC равносторонним.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 355 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 355?

Краткий ответ: 5 см.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.