ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 353: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

План решения:

1. Используем свойства касательных к окружности: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO (или ACO), где OB — радиус, а AO — гипотенуза. 3. Учтём условие о середине отрезка AO, чтобы найти соотношение между катетом и гипотенузой. 4. Найдём угол BAO, а затем удвоим его для получения угла BAC.

Вычисление:

Пусть M — середина отрезка AO. По условию точка M лежит на окружности с центром O. Значит, расстояние от центра до точки M равно радиусу окружности: OM=R.

Так как M — середина AO, то весь отрезок AO равен двум радиусам: AO=2·OM=2R

Рассмотрим треугольник ABO. Так как AB — касательная, а OB — радиус, проведённый в точку касания, то ∠ABO=90^°. Треугольник ABO является прямоугольным.

В этом треугольнике катет OB равен радиусу R, а гипотенуза AO равна 2R. Найдём синус угла BAO: sin(∠BAO)=OB/AO=R/2R=1/2

Угол, синус которого равен 1/2, составляет 30^°. Следовательно, ∠BAO=30^°.

По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки AB и AC равны, а луч AO является биссектрисой угла BAC. Поэтому: ∠BAC=2·∠BAO=2·30^°=60^°

Проверка:

Если угол BAC=60^°, то треугольник ABC (если соединить B и C) был бы равносторонним при определённых условиях, но здесь важнее геометрия треугольника ABO. При угле 30^° напротив катета OB, гипотенуза действительно вдвое больше катета (AO=2OB). Середина гипотенузы удалена от вершины прямого угла на половину длины гипотенузы, но здесь мы используем центр окружности. Точка M (середина AO) находится на расстоянии R от O, что соответствует радиусу. Логика верна.