ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 349: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Из точки A на окружности проведены касательная и хорда, длина которой равна радиусу. Нужно найти величину угла между ними.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения угла между касательной и хордой воспользуемся свойством вписанного угла. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую эта хорда отсекает внутри данного угла. Нам нужно определить величину этой дуги, опираясь на то, что длина хорды равна радиусу окружности.
Вычисление.
Пусть O — центр окружности, а AB — данная хорда. По условию задачи длина хорды равна радиусу: AB=R. Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB являются радиусами окружности, то OA=OB=R. Следовательно, все три стороны треугольника AOB равны (OA=OB=AB=R), значит, этот треугольник является равносторонним.
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Таким образом, центральный угол AOB=60°. Величина дуги AB, стягиваемой этим центральным углом, также равна 60°.
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри этого угла. Обозначим искомый угол через alpha. Тогда:
α=1/2·60°=30°Проверка.
Рассмотрим альтернативный путь через прямоугольный треугольник. Пусть AC — касательная к окружности в точке A. Радиус OA, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть OAC=90°. Мы уже установили, что OAB=60° (угол при основании равностороннего треугольника). Искомый угол CAB можно найти как разность прямого угла и угла OAB:
∠CAB=∠OAC-∠OAB=90°-60°=30°Оба метода дают одинаковый результат, что подтверждает правильность решения.
30°
Задача решается через связь угла между касательной и хордой с дугой или через свойства равностороннего треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 349 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 349?
Краткий ответ: 30°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.