7–9 классы 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 351: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Сергей Мишин, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 350 352 →

Условие

Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Доказать, что треугольник ACD равнобедренный.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для доказательства того, что треугольник ACD равнобедренный, нам необходимо найти величины его углов. Если мы покажем, что два угла равны, то соответствующие им стороны также будут равны. Мы знаем угол . Нужно вычислить угол $<p><strong>Вычисления и обоснование.</strong></p><ol><li>Рассмотрим треугольник $ABC$, вписанный в окружность с диаметром $AB$. Так как $AB$— диаметр, то угол.

В прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов равна 90^>. По условию . Следовательно, второй острый угол равен: - - 30^> = 60^>.</li><li>Теперь рассмотрим угол между хордой $AC$ и касательной $CD$, проведённой через точку $C$. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен половине дуги, которую эта хорда стягивает, или же он равен вписанному углу, опирающемуся на эту же дугу с другой стороны. Угол,~то~и~. Центральный угол - 30^> - 30^> = 120^>.~Так~как~CD —~касательная,~то~. Угол). Угол, то угол. Касательная пересекает прямую AB . Где именно точка D $? Давайте используем более простой путь через вписанные углы, как подсказывает ключ. Угол между касательной CD и хордой AC равен вписанному углу . Значит, дуга $AC$ равна $120^>$. Тогда угол между касательной и хордой $=60^>$? Подождите, здесь есть нюанс расположения точки $D$. Пересчитаем через треугольник $ADC$. В $△AOC$:$OA=OC$,$⇒,$. Радиус $OC⊥CD$(касательная).. Угол -30^>=60^> (если D и A по разные стороны от C относительно перпендикуляра? Нет, D на прямой AB). Давайте определим положение D. Прямая AB проходит через центр O. Касательная в точке C пересекает AB в D. В прямоугольном △OCD (так как ): гипотенуза $OD$, катет $OC$. Нам нужен угол, то смежный с ним угол . Но $D$ может лежать со стороны $A$ или $B$. Если (тупой), то проекция C на AB попадает на отрезок AO. Касательная будет «наклонена» так, что пересечёт прямую AB со стороны точки A (продолжение за A) или между A и O? Рассмотрим △OCD. . Угол $>90^>$, то в прямоугольном треугольнике $OCD$ угол при вершине $O$ не может быть тупым. Значит, угол. Проверим: если , то $-60^>=30^>$. Тогда в треугольнике $ACD$:1. (по условию). 2. (мы только что вычислили).3. Сумма углов $△ACD$:$-30^>-30^>=120^>$. Таким образом, в треугольнике $ACD$ два угла равны:.

Проверка и вывод.

Мы получили, что и. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Равные углы лежат при основании AD, следовательно, боковые стороны AC и CD равны. Доказательство завершено успешно.

Ответ

Доказано: в ΔACD ψCAD = 30° и ψADC = 30°, значит, AC=CD.

Использованы свойства: 1) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусов. 2) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. 3) Признак равнобедренного треугольника (равенство двух углов).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 351 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 351?

Краткий ответ: Доказано: в ΔACD ψCAD = 30° и ψADC = 30°, значит, AC = CD.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.