ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 356: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В прямоугольном треугольнике ABC (угол B прямой) нужно доказать три утверждения
а) сторона BC является касательной к окружности с центром A и радиусом AB
б) сторона AB является касательной к окружности с центром C и радиусом CB
в) сторона AC не является касательной к окружностям с центрами B и радиусами BA и BC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи вспомним определение касательной к окружности: прямая является касательной, если она проходит через конец радиуса и перпендикулярна этому радиусу. Также напомним, что расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, если прямая пересекает окружность в двух точках (секущая), равно радиусу — если касается, и больше радиуса — если не имеет общих точек.
а) Докажем, что BC — касательная к окружности с центром A и радиусом AB.
- Центр окружности — точка A, радиус равен длине отрезка AB. Точка B лежит на этой окружности, так как расстояние от центра A до точки B равно радиусу (AB=r).
- По условию треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине B, то есть △ABC имеет угол β=90o.
- Это означает, что сторона BC перпендикулярна стороне AB (BCbotAB).
- Так как прямая BC проходит через точку B, лежащую на окружности, и перпендикулярна радиусу AB, проведённому в эту точку, то по признаку касательной прямая BC является касательной к данной окружности.
б) Докажем, что AB — касательная к окружности с центром C и радиусом CB.
- Центр окружности — точка C, радиус равен длине отрезка CB. Точка B лежит на этой окружности, так как расстояние от центра C до точки B равно радиусу (CB=r).
- Из условия β=90o следует, что сторона AB перпендикулярна стороне BC (ABbotBC).
- Прямая AB проходит через точку B, лежащую на окружности, и перпендикулярна радиусу CB, проведённому в эту точку.
- Следовательно, по определению касательной, прямая AB является касательной к окружности с центром C.
в) Докажем, что AC не является касательной к окружностям с центром B и радиусами BA и BC.
- Рассмотрим первую окружность: центр B, радиус r1=BA. Расстояние от центра B до прямой AC — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла B на гипотенузу AC. Обозначим этот перпендикуляр за h.
- В прямоугольном треугольнике катет всегда больше высоты, опущенной на гипотенузу (так как высота является перпендикуляром, а катет — наклонной к той же прямой). То есть h<BA.
- Поскольку расстояние от центра до прямой (h) меньше радиуса (BA), прямая AC пересекает эту окружность в двух точках. Значит, она не может быть касательной.
- Аналогично для второй окружности: центр B, радиус r2=BC. Расстояние от центра B до прямой AC также равно h.
- Так как h<BC (катет больше высоты), то расстояние от центра до прямой меньше радиуса. Прямая AC пересекает вторую окружность в двух точках и не является касательной.
а) BCbotAB и B на окружности (A;AB), значит BC — касательная.
б) ABbotBC и B на окружности (C;CB), значит AB — касательная.
в) Расстояние от B до AC (высота h) меньше катетов BA и BC, поэтому AC — секущая, а не касательная.
Использовано классическое определение касательной через перпендикулярность радиусу в точке касания. Для пункта в) использовано свойство расстояния от точки до прямой (высота меньше катета).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 356 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 356?
Краткий ответ: а) BC AB и B на окружности (A; AB), значит BC — касательная. б) AB BC и B на окружности (C; CB), значит AB — касательная. в) Расстояние от B до AC (высота h) меньше катетов BA и BC, поэтому AC — секущая, а не касательная.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.