ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 361: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

Для построения прямоугольного треугольника по заданным медиане m и высоте h, проведенным к гипотенузе, необходимо использовать ключевые свойства прямоугольного треугольника. Вспомним, что в любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы. Следовательно, если нам дана длина медианы m, то мы сразу знаем длину всей гипотенузы: она будет равна 2m. Также известно, что высота h опущена из вершины прямого угла на эту гипотенузу.

План построения:

1. Проводим прямую линию и откладываем на ней отрезок AB, равный удвоенной длине данной медианы (AB=2m). Этот отрезок будет являться гипотенузой искомого треугольника.
2. Находим середину отрезка AB и обозначаем её точкой O. Точка O является центром описанной окружности вокруг будущего треугольника.
3. Строим прямую, параллельную AB, на расстоянии h от неё. Для этого можно восстановить перпендикуляр к AB в любой точке (например, в A или B), отложить на нём отрезок длиной h и через полученную точку провести прямую, параллельную AB. Вершина C должна лежать на этой прямой.
4. Строим окружность с центром в точке O и радиусом OA (или OB, что равно m).
5. Точки пересечения построенной окружности с параллельной прямой будут являться возможными положениями вершины C прямого угла.

Обоснование и проверка:

Любая точка C, лежащая на окружности с диаметром AB, образует с концами диаметра прямоугольный треугольник ABC (∠C=90^°). Так как мы выбрали точки пересечения окружности с прямой, удалённой от AB на расстояние h, то высота, опущенная из C на AB, действительно равна h. Медиана CO соединяет вершину прямого угла с серединой гипотенузы, и по свойству прямоугольного треугольника её длина равна радиусу описанной окружности, то есть m. Таким образом, все условия задачи выполнены.