ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 366: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

План доказательства:

В равностороннем треугольнике все три медианы, биссектрисы и высоты совпадают. Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров (которые в равностороннем треугольнике совпадают с медианами), а центр вписанной окружности — точкой пересечения биссектрис. Поскольку все эти линии проходят через одну точку, центры должны совпасть.

Пошаговое вычисление и обоснование:

1. Пусть дан равносторонний треугольник ABC, где AB=BC=CA.
2. Проведём медиану AM к стороне BC. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой и биссектрисой угла при вершине. Следовательно, AM⊥BC и ∠BAM=∠CAM.
3. Так как AM — высота и медиана, она лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC. Значит, любая точка на прямой AM равноудалена от вершин B и C.
4. Аналогично, медиана BN к стороне AC является биссектрисой угла B и лежит на серединном перпендикуляре к AC. Любая точка на BN равноудалена от вершин A и C.
5. Рассмотрим точку пересечения O медиан AM и BN.
   • Так как O лежит на биссектрисах AM и BN, то по свойству биссектрис углов треугольника, точка O равноудалена от всех сторон треугольника (d(O,AB)=d(O,BC)=d(O,AC)). Это означает, что O является центром вписанной окружности.
   • Так как O лежит на серединных перпендикулярах (совпадающих с медианами), то точка O равноудалена от всех вершин треугольника (OA=OB=OC). Это означает, что O является центром описанной окружности.

Проверка:

Мы показали, что одна и та же точка O удовлетворяет определению центра вписанной окружности (равноудаление от сторон) и центра описанной окружности (равноудаление от вершин). Для любого другого треугольника эти точки различны, но для равностороннего они совпадают из-за симметрии фигур. Утверждение доказано.