ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 369: Теорема Пифагора

План доказательства.

Чтобы доказать, что центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, нужно показать, что расстояние от этой середины до всех трёх вершин треугольника одинаково. Если это так, то по определению описанной окружности именно эта точка является центром, а найденное расстояние — радиусом.

Ход решения.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C (∠C=90^°). Обозначим середину гипотенузы AB точкой O. Проведём медиану CO, соединяющую прямой угол с серединой противоположной стороны.

Вспомним важное свойство прямоугольного треугольника (на которое ссылается указание): медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы . Запишем это равенством:

Так как точка O — середина отрезка AB, то она делит его на две равные части:

Сравнивая полученные выражения, видим, что все три отрезка равны между собой:

Это означает, что точки A, B и C находятся на одинаковом расстоянии от точки O. Следовательно, окружность с центром в точке O и радиусом R=AO проходит через все вершины треугольника ABC. То есть точка O является центром описанной около треугольника окружности.

Проверка и вывод.

Мы доказали, что если взять середину гипотенузы, то расстояния до всех вершин будут равны. Это полностью соответствует условию задачи. Таким образом, утверждение верно: центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, действительно является середина гипотенузы.