ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 343: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

План доказательства.

Чтобы доказать, что прямая является касательной к окружности, нужно воспользоваться признаком касательной. Признак гласит: если радиус окружности, проведённый в точку на прямой, перпендикулярен этой прямой, то данная прямая — касательная. Нам дано, что расстояние от центра до прямой равно радиусу. Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Следовательно, нам нужно показать, что этот перпендикуляр и есть радиус, а точка его основания лежит на окружности.

Ход решения.

1. Пусть O — центр данной окружности, а r — её радиус.
2. Пусть l — данная прямая. По условию задачи расстояние от точки O до прямой l равно r.
3. Обозначим через H основание перпендикуляра, опущенного из центра O на прямую l. По определению расстояния от точки до прямой, отрезок OH перпендикулярен прямой l, то есть OH⊥l.
4. Так как по условию это расстояние равно радиусу, то OH=r.
5. Рассмотрим точку H. Так как расстояние от центра O до точки H равно радиусу (OH=r), то точка H принадлежит окружности.
6. Итак, мы имеем прямую l, которая проходит через точку H, лежащую на окружности, и перпендикулярна радиусу OH в этой точке.
7. Согласно теореме о касательной (признаку касательной), прямая, проходящая через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярная этому радиусу, является касательной к окружности.

Проверка и вывод.

Мы использовали только определение расстояния от точки до прямой и признак касательной. Если бы расстояние было меньше радиуса, прямая пересекала бы окружность в двух точках (секущая). Если бы больше — не имела бы общих точек. Равенство расстояния радиусу гарантирует единственную общую точку и перпендикулярность, что полностью соответствует определению касательной. Доказательство завершено.