ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 342: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

План доказательства.

Чтобы доказать равенство двух хорд, воспользуемся свойством прямоугольных треугольников. Проведем из центра окружности перпендикуляры к данным хордам. Эти перпендикуляры являются расстояниями от центра до хорд и по условию равны между собой. Также соединим центр с концами хорд радиусами. В результате получим два прямоугольных треугольника, у которых гипотенузы (радиусы) равны, а один из катетов (расстояние до хорды) также равен. По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету эти треугольники равны, что позволит сделать вывод о равенстве вторых катетов, а значит, и самих хорд.

Ход решения.

Пусть дана окружность с центром O. Пусть AB и CD — две её хорды. По условию задачи расстояние от центра O до хорды AB равно расстоянию от центра O до хорды CD. Обозначим основания перпендикуляров из точки O на хорды как M и N соответственно. Тогда OM⊥AB, ON⊥CD, и по условию OM=ON.

Рассмотрим прямоугольные треугольники △OMA и △ONC:

• OA=OC=R (гипотенузы, так как это радиусы одной окружности);
• OM=ON (катеты, по условию равноудаленности).

Следовательно, △OMA=△ONC по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=CN.

По теореме о перпендикуляре, опущенном из центра на хорду, точка M является серединой хорды AB, то есть AB=2·AM. Аналогично, точка N является серединой хорды CD, то есть CD=2·CN.

Так как мы доказали, что AM=CN, то умножив обе части этого равенства на 2, получаем:

Проверка и вывод.

Мы использовали только данные условия (равенство расстояний до хорд) и базовые свойства окружности (равенство радиусов, свойство перпендикуляра из центра). Логическая цепочка не содержит противоречий. Таким образом, утверждение доказано: если две хорды окружности равноудалены от центра, то они равны между собой.