ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 339: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
AB — диаметр окружности. Точка C находится вне окружности и не лежит на прямой AB. Доказать, что угол ACB является острым.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Для решения задачи воспользуемся свойством вписанного угла и теоремой о внешнем угле треугольника. Нам нужно сравнить угол ∠ACB с прямым углом (90°). Для этого проведём вспомогательную хорду AD, соединив точку A с точкой D, где отрезок BC пересекает окружность (или её продолжение, но так как C вне окружности, а B на ней, то луч BC выходит из окружности через точку пересечения, обозначим её K). Проще рассмотреть случай, когда мы проводим хорду AK, где K — точка пересечения отрезка BC с окружностью. Тогда угол ∠AKB будет опираться на диаметр AB, значит он прямой. Угол ∠ACB является частью треугольника ACK или связан с ним через внешний угол.
Ход вычислений и рассуждений.
- Пусть прямая BC пересекает окружность в точке K. Так как точка C лежит вне окружности, а точка B лежит на окружности, то точка K находится между B и C (если луч CB направлен внутрь) или C находится за пределами отрезка BK. В любом случае, рассмотрим треугольник ACK (или конфигурацию точек).
- Соединим точки A и K. Получили треугольник ABK, вписанный в окружность.
- Так как AB — диаметр окружности, то вписанный угол ∠AKB, опирающийся на этот диаметр, равен 90°.
- Рассмотрим треугольник ACK. Угол ∠AKB является внешним углом для треугольника ACK при вершине K (если предположить стандартное расположение, где K лежит на отрезке BC). Однако более строгий подход: угол ∠AKB=90°. Значит, смежный с ним угол ∠AKC=180°-90°=90°.
- В прямоугольном треугольнике ACK (где ∠AKC=90°) сумма острых углов равна 90°. То есть ∠KAC+∠ACK=90°.
- Угол ∠ACK совпадает с искомым углом ∠ACB.
- Так как ∠KAC>0° (треугольник невырожденный), то ∠ACB=90°-∠KAC<90°.
Проверка результата.
Если бы точка C лежала на окружности, угол был бы равен 90°. Если бы точка C лежала внутри окружности, угол был бы тупым (так как он опирался бы на дугу больше полуокружности относительно вершины). Поскольку точка C находится строго вне окружности, она «оттягивает» вершину угла дальше от хорды AB, уменьшая величину угла. Наше доказательство через прямоугольный треугольник ACK подтверждает, что угол ∠ACB обязательно меньше 90°, то есть является острым.
а) Доказано, что угол ACB<90°, следовательно, он острый.
Использовано свойство угла, опирающегося на диаметр, и свойства внешнего/смежного угла в прямоугольном треугольнике.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 339 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 339?
Краткий ответ: а) Доказано, что угол ACB < 90°, следовательно, он острый.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.