ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 335: Построение треугольника по трём элементам

План доказательства:

Чтобы доказать, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA, воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла. Нам нужно последовательно применить это свойство к внешним углам при вершинах B и C, а затем связать полученные расстояния.

Ход решения:

1. Рассмотрим внешний угол при вершине B треугольника ABC. По условию, точка O лежит на его биссектрисе. Сторонами этого внешнего угла являются луч BA (продолжение стороны AB) и луч BC. Следовательно, по свойству биссектрисы, расстояние от точки O до прямой AB равно расстоянию от точки O до прямой BC. Обозначим эти расстояния как d(O,AB) и d(O,BC). Тогда: d(O,AB)=d(O,BC)
2. Теперь рассмотрим внешний угол при вершине C треугольника ABC. Точка O также лежит на биссектрисе этого угла. Сторонами данного внешнего угла являются луч CB (продолжение стороны BC) и луч CA (продолжение стороны AC). Значит, расстояние от точки O до прямой BC равно расстоянию от точки O до прямой CA. Обозначим это как: d(O,BC)=d(O,CA)
3. Из двух предыдущих равенств следует, что все три расстояния равны между собой. Действительно, если d(O,AB)=d(O,BC) и d(O,BC)=d(O,CA), то по транзитивности равенства: d(O,AB)=d(O,BC)=d(O,CA)

Вывод:

Мы доказали, что расстояние от точки O до каждой из трех прямых, содержащих стороны треугольника ABC, одинаково. Таким образом, точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA. Что и требовалось доказать.