ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 330: Построение треугольника по трём элементам

План решения.

Задача требует построить точку M на катете AB прямоугольного треугольника ABC (∠A=90^°) так, чтобы расстояние от точки M до гипотенузы BC было равно длине отрезка AM. Вспомним геометрическое свойство: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла. Если мы проведем биссектрису угла C, то каждая её точка будет находиться на одинаковом расстоянии от стороны AC и стороны BC. Поскольку точка A лежит на стороне AC, а угол при ней прямой, то перпендикуляр из любой точки биссектрисы на сторону AC параллелен AB (или совпадает с проекцией). Однако более простой путь — рассмотреть свойства биссектрисы угла B или угла C. Давайте проанализируем условие внимательнее. Нам нужно, чтобы d(M,BC)=AM. Заметим, что AM — это расстояние от точки M до прямой AC, так как MA⊥AC (поскольку ∠A=90^°). Таким образом, условие задачи эквивалентно тому, что точка M равноудалена от прямых AC и BC. Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть объединение биссектрис углов, образованных этими прямыми. Следовательно, точка M должна лежать на биссектрисе угла C (так как она находится внутри треугольника). Алгоритм построения: 1. Построить биссектрису угла C. 2. Найти точку пересечения этой биссектрисы со стороной AB. Эта точка и будет искомой точкой M. 3. Проверить выполнение условия.

Вычисление и обоснование.

Пусть CM — биссектриса угла C, где M∈AB. По определению биссектрисы, точка M равноудалена от сторон угла C. Сторонами угла C являются лучи CA и CB. Расстояние от точки M до прямой CA равно длине перпендикуляра, опущенного из M на CA. Так как △ABC прямоугольный с углом A=90^°, то MA⊥CA. Следовательно, расстояние от M до CA равно AM. Расстояние от точки M до прямой CB обозначим через MH, где H — основание перпендикуляра из M на BC. По свойству биссектрисы, MH=MA. Таким образом, построенная точка M удовлетворяет условию задачи: её расстояние до прямой BC (которое равно MH) равно заданному расстоянию AM.

Проверка.

Рассмотрим треугольники CAM и CHM (где H — проекция M на BC). 1. ∠CAM=90^° (по условию). 2. ∠CHM=90^° (по построению перпендикуляра). 3. Гипотенуза CM общая. 4. Углы ∠ACM и ∠HCM равны, так как CM — биссектриса. Следовательно, △CAM=△CHM по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: AM=MH. Это подтверждает, что расстояние от точки M до прямой BC действительно равно AM. Построение верно.