ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 328: Построение треугольника по трём элементам

План решения.

Задача требует построить треугольник ABC, зная угол β при вершине B, высоту h_b и биссектрису l_b, проведенные из этой же вершины. Ключевая идея состоит в том, чтобы сначала определить положение вершины B относительно основания AC. Для этого воспользуемся подсказкой: построим вспомогательный прямоугольный треугольник, который позволит найти расстояние от точки пересечения биссектрисы с основанием до проекции вершины на основание.

Пошаговое вычисление и построение.

1. Строим прямой угол θ=90
   ^circ.
2. На одной стороне угла откладываем отрезок BH₁=h_b (данная высота).
3. Из конца отрезка H₁ проводим дугу радиусом l_b (данная биссектриса) до пересечения с другой стороной угла. Пусть точка пересечения — M. Тогда треугольник BH₁M — прямоугольный, где гипотенуза BM=l_b, катет BH₁=h_b. Второй катет H₁M равен расстоянию от основания высоты до точки пересечения биссектрисы с прямой, содержащей основание треугольника.
4. Теперь переходим к основному построению. Проводим произвольную прямую m (будущее основание AC).
5. Восстанавливаем перпендикуляр к прямой m в некоторой точке H. На этом перпендикуляре откладываем отрезок HB=h_b. Точка B — вершина искомого треугольника.
6. От точки H на прямой m откладываем отрезок HD, равный найденному катету H₁M из пункта 3. Точка D будет точкой пересечения биссектрисы с основанием AC.
7. Соединяем точку B с точкой D. Отрезок BD является биссектрисой угла B.
8. Строим угол β так, чтобы его сторонами были лучи, симметричные относительно биссектрисы BD. То есть, строим луч BA и луч BC такие, что angle(ABD)=angle(DBC)=β/2. Эти лучи пересекают прямую m в точках A и C.

Проверка.

Рассмотрим полученный треугольник ABC. По построению, BHbotAC и BH=h_b, значит, высота проведена верно. Отрезок BD лежит на биссектрисе, так как мы построили углы angle(ABD) и angle(DBC) равными β/2, следовательно, сумма этих углов равна β, то есть angle(ABC)=β. Длина биссектрисы BD равна l_b, так как в прямоугольном треугольнике BHD катет BH=h_b, а гипотенуза BD=l_b (так как HD был построен равным H₁M, а BH=H₁B, то треугольники BHD и BH₁M равны по двум катетам, откуда BD=BM=l_b). Таким образом, все условия задачи выполнены.