ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 329: Построение треугольника по трём элементам

Для решения задачи построения треугольника по стороне a, высоте h и медиане m_a, проведенным к этой стороне, необходимо проанализировать геометрические свойства этих элементов. Пусть искомый треугольник — ABC, где сторона BC=a. Высота AH перпендикулярна BC, а медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC. Ключевым наблюдением является то, что точка M (основание медианы) и точка H (основание высоты) лежат на прямой BC. Треугольник AHM является прямоугольным с прямым углом при вершине H, так как AH⊥BC. В этом вспомогательном треугольнике нам известны два элемента: катет AH=h и гипотенуза AM=m_a. Это позволяет восстановить положение вершины A относительно прямой, содержащей сторону BC.

План построения следующий:

1. Проводим произвольную прямую l, на которой будет лежать сторона BC.
2. Строим прямоугольный треугольник AHM: сначала проводим перпендикуляр к прямой l в некоторой точке H и откладываем на нем отрезок HA=h. Затем из точки A радиусом, равным данной медиане m_a, проводим дугу, пересекающую прямую l в точке M. Точка M — это середина стороны BC.
3. На прямой l от точки M в обе стороны откладываем отрезки MB и MC, каждый из которых равен половине данной стороны a (MB=MC=a/2). Получаем концы стороны BC.
4. Соединяем точку A с точками B и C. Треугольник ABC — искомый.

Проверка правильности построения основывается на свойствах построенных фигур. По условию построения, отрезок AH перпендикулярен прямой BC и равен заданной высоте h. Отрезок AM соединяет вершину A с серединой стороны BC (так как BM=MC=a/2) и равен заданной медиане m_a по конструкции дуги. Сторона BC состоит из двух отрезков по a/2, значит, ее полная длина равна a. Таким образом, все три условия задачи выполнены. Следует отметить, что задача может иметь два решения (симметричных относительно высоты), если точка H не совпадает с точкой M, или одно решение, если h=m_a (тогда треугольник равнобедренный).