ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 332: Построение треугольника по трём элементам

План решения.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, обладающих определённым свойством. В данной задаче требуется найти все точки плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от двух параллельных прямых. Для этого вспомним определение расстояния от точки до прямой и свойства симметрии относительно параллельных линий.

Вычисление и обоснование.

Пусть даны две параллельные прямые a и b. Расстояние от произвольной точки M до прямой a обозначим как d(M,a), а до прямой b — как d(M,b). Нам нужно найти множество точек M, для которых выполняется равенство:

Рассмотрим случай, когда точка M лежит между прямыми a и b. Если провести перпендикуляр к этим прямым через точку M, то он будет одновременно являться частью общего перпендикуляра между прямыми. Точка, равноудалённая от концов отрезка (или в данном случае от границ полосы), лежит на серединном перпендикуляре. Поскольку прямые параллельны, все такие «серединные» точки образуют одну прямую линию, которая проходит ровно посередине между a и b и параллельна им.

Если точка M не лежит между прямыми, например, она находится «выше» прямой a, то расстояние до a всегда меньше расстояния до b (так как путь до b включает в себя расстояние между a и b плюс расстояние от M до a). Аналогично, если точка «ниже» прямой b, расстояние до b будет меньше. Следовательно, вне полосы между прямыми нет ни одной точки, равноудалённой от обеих прямых.

Проверка и вывод.

Возьмём любую точку P на найденной нами средней прямой. По определению средней линии между параллельными прямыми, расстояние от неё до каждой из данных прямых равно половине расстояния между самими прямыми a и b. Таким образом, условие d(P,a)=d(P,b) выполняется.

Итак, искомым геометрическим местом точек является прямая, параллельная данным двум прямым и проходящая на равном расстоянии от них (то есть средняя линия полосы, образованной данными прямыми).