ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 325: Построение треугольника по трём элементам

План решения.

Для построения треугольника ABC по заданным элементам: стороне BC=a, высоте h_a к этой стороне и медиане m_b к стороне AC, необходимо свести задачу к более простым конструкциям. Ключевая идея состоит в том, чтобы использовать свойства средней линии или вспомогательного треугольника. Согласно указанию учебника (задача 290), мы можем рассмотреть треугольник, образованный половиной стороны AC, медианой m_b и отрезком, связывающим вершину с серединой основания. Однако более прямой путь — это построение вершины A как пересечения геометрических мест точек.

Пошаговое вычисление и построение.

1. Построим прямую l, на которой будет лежать сторона BC. Отложим на ней отрезок BC=a.
2. Построим две прямые m₁ и m₂, параллельные l и находящиеся от неё на расстоянии h_a. Вершина A должна лежать на одной из этих прямых (выберем одну для определённости, например, верхнюю).
3. Теперь нужно учесть условие про медиану m_b. Медиана BM соединяет вершину B с серединой M стороны AC. Это сложное условие напрямую. Воспользуемся подсказкой задачи 290. Вспомним, что если продлить медиану BM за точку M на расстояние, равное BM, то получится параллелограмм ABCD′, где D′ — точка, симметричная B относительно M. Но есть другой подход через подобие или средние линии.
4. Рассмотрим треугольник ABC. Пусть M — середина AC. Тогда BM=m_b. Точка M лежит на середине отрезка AC. Если мы найдем locus (геометрическое место) точки M, то сможем найти A.
5. Более эффективный способ, часто используемый в таких задачах: построим вспомогательный треугольник. Пусть K — середина BC. Тогда AK — медиана к стороне BC. Но у нас дана медиана к другой стороне.
6. Вернемся к идее задачи 290. Обычно она связана с построением треугольника по трём медианам или их частям. Здесь же можно поступить так: пусть O — центр тяжести треугольника? Нет, это усложнит.
7. Используем метод «предварительного чертежа». Предположим, треугольник построен. Проведем высоту AH=h_a. Пусть M — середина AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC? Нет, H не обязательно совпадает с проекцией M.
8. Существует стандартный алгоритм для этой задачи:
   1. Постройте отрезок BC=a.
   2. Постройте прямую d, параллельную BC на расстоянии h_a. Вершина A лежит на d.
   3. Нам нужно найти такое положение A на d, чтобы медиана BM была равна m_b, где M — середина AC.
   4. Заметим, что если взять точку C′, симметричную C относительно какой-то оси... Лучше использовать свойство: расстояние от середины стороны до противоположной вершины связано с другими элементами.
9. Воспользуемся следующим приемом: пусть N — середина AB. Тогда CN — медиана к AB. Не подходит.
10. Давайте применим теорему о средней линии. Пусть M — середина AC. Проведем прямую через M, параллельную BC. Она пересечёт AB в его середине N. Треугольник AMN подобен ACB с коэффициентом 1/2. Высота MN треугольника AMN равна половине высоты h_a? Нет, высота из M на AB...
11. Проще всего решить эту задачу через построение треугольника BMC′, где C′ — точка такая, что M — середина CC′. Тогда ABC′C — параллелограмм? Нет.
12. Корректный алгоритм:
    1. Постройте отрезок BC=a.
    2. Постройте окружность с центром B радиуса m_b.
    3. Вершина A неизвестна, но середина M стороны AC должна лежать на этой окружности.
    4. Также известно, что расстояние от A до прямой BC равно h_a.
    5. Пусть координата A по вертикали равна h_a. Координата C по вертикали равна 0. Тогда координата середины M по вертикали равна h_a/2.
    6. Следовательно, точка M лежит на прямой k, параллельной BC и удаленной от неё на расстояние h_a/2.
    7. Точка M также лежит на окружности с центром B радиуса m_b.
    8. Найдите пересечение прямой k и окружности (B;m_b). Получите возможные положения точки M.
    9. Для каждой найденной точки M восстановите вершину A: так как M — середина AC, то MA=CM, или A симметрична C относительно M. Постройте точку A, симметричную C относительно M.
    10. Соедините A с B и C. Треугольник ABC искомый.

Проверка.

В полученном треугольнике ABC сторона BC равна заданному a по построению. Высота h_a равна расстоянию от A до BC. Так как A получена симметрией C относительно M, а M лежит на прямой на высоте h_a/2, то ордината A равна 2×(h_a/2)-0=h_a. Условие по высоте выполнено. Медиана BM соединяет B с серединой AC (точкой M). По построению M лежит на окружности радиуса m_b с центром B, значит BM=m_b. Все условия задачи выполнены.