ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 326: Построение треугольника по трём элементам

План решения.

Нам нужно построить отрезок DE∥AC, где D∈AB и E∈BC, так чтобы выполнялось равенство DE=AD+CE. Поскольку DE∥AC, треугольник DBE подобен треугольнику ABC. Это означает, что отношение соответствующих сторон постоянно. Однако прямое использование подобия здесь затруднено из-за суммы отрезков на разных сторонах. Ключевая идея состоит в том, чтобы «собрать» отрезки AD и CE в один непрерывный путь или использовать свойство параллельных прямых для переноса длин. Вспомним задачу 250 (или аналогичную стандартную задачу на построение), которая часто связана с делением отрезка в данном отношении или использованием средней линии/подобия. Но более простой геометрический подход: если мы возьмем точку M на стороне AC такую, что AM=AD и MC=CE, то задача сводится к поиску такой позиции DE, чтобы длина проекции или самого отрезка равнялась сумме этих частей. Давайте рассмотрим другой путь. Пусть DE пересекает медиану или высоту? Нет. Воспользуемся методом подобия. Пусть коэффициент подобия △DBE к △ABC равен k. Тогда DE=k·AC. Также BD=k·AB и BE=k·BC. Следовательно, AD=AB-BD=AB(1-k) и CE=BC-BE=BC(1-k). Условие DE=AD+CE превращается в уравнение: k·AC=AB(1-k)+BC(1-k) k·AC=(AB+BC)(1-k) Отсюда можно найти k: k·AC=AB+BC-k(AB+BC) k(AC+AB+BC)=AB+BC k=AB+BC/AB+BC+AC Таким образом, точка D должна делить сторону AB в отношении k:(1-k), считая от вершины B. То есть BD:DA=(AB+BC):AC. Аналогично для точки E: BE:EC=(AB+BC):AC. Это позволяет построить точки D и E с помощью теоремы Фалеса или деления отрезка в данном отношении.

Вычисление и построение.

Для реализации построения нам не обязательно вычислять числовое значение k, достаточно построить отношение сумм сторон. 1. На луче BA за точкой A отложим отрезок AF=BC. Тогда весь отрезок BF=BA+AF=AB+BC. 2. Соединим точку F с точкой C. Получаем треугольник BFC. 3. Нам нужно провести линию, параллельную AC, но сначала найдем положение точек D и E. Из формулы выше видно, что BD/AB=k. А также BE/BC=k. 4. Более простое построение через вспомогательную прямую: - Продолжим сторону AB за точку B на величину BC? Нет, лучше продолжить CB за B на величину AB? Давайте используем найденное соотношение BD:DA=(AB+BC):AC. - Построим сумму S=AB+BC. Для этого на продолжении стороны AB за точку B отложим отрезок BK=BC. Тогда AK=AB+BK=AB+BC. - Теперь у нас есть отрезок AK (равный AB+BC) и отрезок AC. Нам нужно разделить сторону AB точкой D так, чтобы BD:DA=AK:AC. - Проведем луч из точки A под произвольным углом к AB. Отложим на нем отрезок AL=AC и далее отрезок LM=AK (или наоборот, главное — получить два отрезка). Лучше: на луче из A отложим AP=AC и PQ=AB+BC (построив сумму отдельно). - Соединим конец второго отрезка с точкой B. Проведем параллельную через конец первого отрезка (P). Точка пересечения с AB даст нужное деление. Упрощенный алгоритм: 1. Постройте сумму двух сторон AB+BC. Для этого на прямой AB отложите отрезок BM′=BC (в направлении от B к A или за B, важно лишь получить длину). Пусть мы получили отрезок длиной L₁=AB+BC. 2. Возьмем третью сторону AC как длину L₂. 3. Нам нужно найти точку D на AB такую, что BD/AB=L₁/(L₁+L₂). Это эквивалентно тому, что D делит AB в отношении L₁:L₂ от вершины B. 4. Постройте угол при вершине B. На одной стороне отложите BX=L₁ (AB+BC), на другой BY=L₂ (AC). Соедините X и Y. Проведите прямую, параллельную XY, проходящую через точку, делящую... нет, проще использовать теорему о пропорциональных отрезках. 5. Конкретное построение: - На продолжении стороны AB за точку B отложим отрезок BK=BC. Тогда AK=AB+BC. - Соединим точку K с точкой C. - Через точку B проведем прямую, параллельную KC? Нет. - Вернемся к формуле: BD=AB·AB+BC/AB+BC+AC. - Построим периметр P=AB+BC+AC. На луче AB отложим BP_total=P. - Нам нужно отложить BD такое, что BD/AB=(AB+BC)/P. - Это классическая задача на деление отрезка в данном отношении. Постройте отрезок m=AB+BC и отрезок n=AC. Требуется разделить AB в отношении (m+n):n? Нет, BD:DA=m:n. - Шаги: 1. Постройте сумму S=AB+BC. (Например, на луче BA отложите BS=BC, тогда AS=AB+BC). 2. Имея отрезки S и AC, разделите сторону AB точкой D так, чтобы BD:DA=S:AC. Для этого проведите луч из A, отложите на нем AX=AC и XY=S. Соедините Y с B. Проведите параллельную к YB через X. Точка пересечения с AB — искомая D. 3. Через точку D проведите прямую, параллельную AC. Она пересечет BC в точке E. 4. Отрезок DE — искомый.

Проверка.

По построению DE∥AC, значит △DBE∼△ABC. Пусть коэффициент подобия k=BD/AB=BE/BC=DE/AC. Из условия деления BD:DA=(AB+BC):AC следует, что BD/AB=AB+BC/AB+BC+AC. Обозначим это отношение за k. Тогда DE=k·AC. Также AD=AB-BD=AB(1-k) и CE=BC-BE=BC(1-k). Сумма AD+CE=(AB+BC)(1-k). Подставим выражение для k: 1-k=1-AB+BC/AB+BC+AC=AC/AB+BC+AC. Тогда AD+CE=(AB+BC)·AC/AB+BC+AC. А DE=k·AC=AB+BC/AB+BC+AC·AC. Видно, что правые части совпадают. Значит, DE=AD+CE. Условие выполнено.