ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 340: 43. Вписанная и описанная окружности треугольника

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся свойством диаметра, перпендикулярного хорде. Известно, что если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он проходит через середину этой хорды. Нам нужно показать, что середины двух параллельных хорд лежат на одной прямой, проходящей через центр окружности (то есть на одном диаметре).

Ход решения.

Пусть дана окружность с центром O. Пусть AB и CD — две параллельные хорды (AB∥CD). Обозначим середину хорды AB за точку M, а середину хорды CD за точку N. 1. Проведём радиусы OA и OB. Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA=OB=R (радиусы окружности). 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Так как M — середина основания AB, то отрезок OM является медианой треугольника AOB. Следовательно, OM⊥AB. 3. Аналогично рассмотрим треугольник COD. Он тоже равнобедренный (OC=OD=R). Точка N — середина основания CD, значит, ON является медианой и высотой. Следовательно, ON⊥CD. 4. По условию хорды параллельны: AB∥CD. 5. Если прямая OM перпендикулярна прямой AB, а прямая AB параллельна прямой CD, то по признаку перпендикулярности прямых в пространстве (или на плоскости) прямая OM перпендикулярна и прямой CD. 6. Через точку O можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой CD. Мы уже установили, что ON⊥CD. Значит, прямые OM и ON совпадают. 7. Поскольку точки O, M и N лежат на одной прямой, проходящей через центр окружности, эта прямая является диаметром окружности.

Проверка и вывод.

Мы доказали, что отрезки, соединяющие центр окружности с серединами параллельных хорд, лежат на одной прямой. Эта прямая проходит через центр, следовательно, она содержит диаметр окружности. Таким образом, середины двух параллельных хорд действительно лежат на одном диаметре. Что и требовалось доказать.