ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 319: Построение треугольника по трём элементам
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что в равносторонних треугольниках высоты, проведенные к сторонам, равны между собой.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Рассмотрим равносторонний треугольник ABC. По определению, все его стороны равны: AB=BC=CA. Проведем высоты AD, BE и CF к сторонам BC, AC и AB соответственно. Наша задача — доказать, что эти три отрезка равны между собой: AD=BE=CF. Для этого воспользуемся признаком равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу или через площади.
Ход решения.
Сравним два прямоугольных треугольника, например, △ABD и △CBE. 1. Углы при вершинах B у обоих треугольников являются углами исходного равностороннего треугольника, значит, ∠ABD=∠CBE=60°. 2. Гипотенузы этих треугольников — это стороны исходного треугольника: AB для первого и CB для второго. Так как треугольник равносторонний, то AB=CB. 3. Оба треугольника прямоугольные, так как AD⊥BC и BE⊥AC (по определению высоты). По второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу) следует, что △ABD=△CBE. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих катетов: AD=BE.
Аналогично можно рассмотреть пару треугольников △BCE и △ACF (или любые другие две пары). В них: - Гипотенузы BC=AC (стороны равностороннего треугольника). - Острые углы ∠C=∠A=60°. - Это также прямоугольные треугольники. Значит, △BCE=△ACF, откуда следует равенство высот BE=CF.
Проверка и вывод.
Мы получили цепочку равенств: AD=BE и BE=CF. Следовательно, AD=BE=CF. Таким образом, мы доказали, что в равностороннем треугольнике все высоты равны между собой. Это логично, так как равносторонний треугольник обладает максимальной симметрией среди всех треугольников, и любая высота является одновременно медианой и биссектрисой, а длина таких элементов зависит только от длины стороны, которая во всех случаях одинакова.
Доказано: AD=BE=CF
Использован признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Альтернативный способ — через формулу площади S = 1/2 * a * h, где a одна и та же, значит h тоже.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 319 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 319?
Краткий ответ: Доказано: AD = BE = CF.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.