ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 310: Построение треугольника по трём элементам
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM_1 и AM_2. Докажите, что
а) если AM1=AM2, то HM1=HM2
б) если AM1<AM2, то HM1<HM2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства утверждений воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольные треугольники △AHM1 и △AHM2. В обоих случаях катет AH является общим (это перпендикуляр из точки A на прямую a), а гипотенузами служат отрезки AM1 и AM2 соответственно.
а) Докажем, что если AM1=AM2, то HM1=HM2.
По теореме Пифагора для первого треугольника имеем: HM21=AM21-AH2 Для второго треугольника аналогично: HM22=AM22-AH2 По условию задачи нам дано, что наклонные равны: AM1=AM2. Следовательно, их квадраты также равны: AM21=AM22. Подставив это равенство в формулы выше, получаем, что правые части выражений для HM21 и HM22 идентичны. Значит, HM21=HM22. Так как длины отрезков положительны, из равенства квадратов следует равенство самих отрезков: HM1=HM2. Что и требовалось доказать.
б) Докажем, что если AM1<AM2, то HM1<HM2.
Снова запишем выражения для проекций через теорему Пифагора: HM1=AM21-AH2 HM2=AM22-AH2 По условию AM1<AM2. Поскольку обе величины положительны, возведение в квадрат сохраняет неравенство: AM21<AM22. Вычтем из обеих частей неравенства одно и то же число AH2: AM21-AH2<AM22-AH2 Это неравенство означает, что подкоренное выражение для HM1 меньше подкоренного выражения для HM2. Функция квадратного корня возрастает при неотрицательных аргументах, поэтому: AM21-AH2<AM22-AH2 То есть HM1<HM2. Что и требовалось доказать.
а) Из равенства гипотенуз AM1=AM2 и общего катета AH по теореме Пифагора следует равенство вторых катетов HM1=HM2.
б) Если AM1<AM2, то AM21<AM22. При вычитании общего AH2 сохраняется неравенство под корнем, значит HM1<HM2.
Решение построено на прямом применении теоремы Пифагора, что является более универсальным и понятным способом для учеников 7-9 классов, чем метод от противного с ссылкой на предыдущую задачу (как указано в ключе учебника). Оба пункта доказаны строго.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 310 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 310?
Краткий ответ: а) Из равенства гипотенуз AM_1=AM_2 и общего катета AH по теореме Пифагора следует равенство вторых катетов HM_1=HM_2. б) Если AM_1 < AM_2, то AM_1^2 < AM_2^2. При вычитании общего AH^2 сохраняется неравенство под корнем, значит HM_1 < HM_2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.