ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 314: Построение треугольника по трём элементам
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите методом от противного: если для трёх точек A, B и C справедливо равенство AB=AC+CB, то точки A, B и C лежат на одной прямой.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Метод от противного предполагает, что мы сначала допускаем обратное утверждение. Нам нужно доказать, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Предположим обратное: пусть эти три точки не лежат на одной прямой. Если три точки не лежат на одной прямой, то они являются вершинами некоторого треугольника. В нашем случае это будет треугольник ABC (или с другим порядком вершин, но суть та же — они образуют фигуру с ненулевой площадью).
Ход рассуждения и вычисление.
Рассмотрим полученный треугольник ABC. Согласно основному неравенству треугольника, длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон. Это значит, что для расстояний между точками должны выполняться следующие строгие неравенства:
- AB<AC+CB;
- AC<AB+BC;
- BC<BA+AC.
В условии задачи дано равенство: AB=AC+CB Однако, если предположить, что точки не коллинеарны (не лежат на одной прямой), то они образуют треугольник, и для него должно выполняться неравенство AB<AC+CB. Мы получили противоречие: по условию длины равны, а из предположения о несовпадении точек на прямой следует, что одна сторона строго меньше суммы двух других.
Проверка и вывод.
Так как наше предположение о том, что точки A, B и C не лежат на одной прямой, привело к логическому противоречию с данным условием (AB=AC+CB), это предположение неверно. Следовательно, верно исходное утверждение: точки A, B и C действительно лежат на одной прямой. Более того, из равенства AB=AC+CB следует, что точка C лежит на отрезке AB между точками A и B.
Предположим, что точки A, B и C не лежат на одной прямой.
Тогда они образуют треугольник ABC.
По неравенству треугольника AB<AC+CB.
Это противоречит условию AB=AC+CB.
Следовательно, предположение неверно, и точки лежат на одной прямой.
Доказательство строится на классическом применении метода от противного в геометрии. Ключевой момент — ссылка на неравенство треугольника, которое является фундаментальным свойством метрического пространства евклидовой плоскости. Важно подчеркнуть, что равенство сумм длин отрезков возможно только в вырожденном случае (коллинарность).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 314 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 314?
Краткий ответ: Предположим, что точки A, B и C не лежат на одной прямой. Тогда они образуют треугольник ABC. По неравенству треугольника AB < AC + CB. Это противоречит условию AB = AC + CB. Следовательно, предположение неверно, и точки лежат на одной прямой.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.