ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 20.3: Преобразование логических выражений

Рассмотрим первое выражение: (AlandB)lor(BlandC).

Применим закон де Моргана к первой скобке (AlandB):

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

Так как операция дизъюнкции (lor) ассоциативна, скобки можно убрать или переставить слагаемые. Однако, чтобы получить правую часть, удобнее сначала раскрыть скобки во втором выражении правой части или преобразовать левую часть к канонической форме. Попробуем другой путь: раскроем скобки в левой части, используя дистрибутивность относительно конъюнкции? Нет, здесь проще преобразовать правую часть к левой или наоборот.

Давайте преобразуем правую часть пункта 1: (AlandB)lor(AlandC)lor(BlandC).

Вынесем общий множитель A из первых двух слагаемых:

Раскроем скобки по дистрибутивному закону Xland(YlorZ)=(XlandY)lor(XlandZ):

Это вернуло нас к исходному виду. Попробуем преобразовать левую часть более агрессивно.

Исходная левая часть после применения закона де Моргана: AlorBlor(BlandC).

Заметим, что Blor(BlandC). По закону поглощения Xlor(XlandY)=X, поэтому Blor(BlandC)=B.

Тогда вся левая часть упрощается до:

Теперь проверим, равна ли правая часть AlorB?

Правая часть: (AlandB)lor(AlandC)lor(BlandC).

Сгруппируем иначе. Вынесем A из первых двух членов:

Раскроем скобки внутри конъюнкции с A:

Добавим к этому выражению «лишние» члены, которые не изменят его значения, но помогут увидеть структуру. Или воспользуемся методом проверки таблицей истинности мысленно.

Проверим случай A=0,B=0,C=0: Левая часть: 0lor0=1lor0=1. Правая часть: (1land1)lor(1land0)lor(0land0)=1lor0lor0=1. Совпало.

Проверим случай A=1,B=1,C=0: Левая часть: 1lor1=0lor1=1. Правая часть: (0land0)lor(0land0)lor(1land0)=0lor0lor0=0. Несовпадение!

Перечитаю условие внимательно. Возможно, я ошибся в упрощении левой части или в интерпретации знака над всей скобкой.

Условие: (AlandB)lor(BlandC).

Если A=1,B=1,C=0: AlandB=1land0=0. 0=1. BlandC=1land1=1. 1lor1=1. Правая часть: (AlandB)lor(AlandC)lor(BlandC). A=0,B=0,C=0. (0land0)lor(0land0)lor(1land0)=0lor0lor0=0. Разница есть. Значит, либо в условии опечатка, либо я неверно применил закон поглощения ранее. Давайте еще раз упростим левую часть без ошибок. (AlandB)=AlorB. Выражение: (AlorB)lor(BlandC). Группировка: Alor(Blor(BlandC)). По закону поглощения Blor(BlandC)=B. Итог левой части: AlorB. Теперь упростим правую часть до минимальной формы. F=(AlandB)lor(AlandC)lor(BlandC). Добавим член AlandB (так как он может быть получен из других? Нет, нельзя просто добавлять). Воспользуемся законом склеивания или картой Карно. Члены: 1. AB (покрывает A=0,B=0,C=0 и A=0,B=0,C=1) 2. AC (покрывает A=0,B=0,C=1 и A=0,B=1,C=1) 3. BC (покрывает A=0,B=1,C=1 и A=1,B=1,C=1) Объединение покрытий: - A=0,B=0: покрыто первым членом (AB). Результат 1. - A=0,B=1: покрыто вторым (AC при C=1) и третьим (BC при C=1). При C=0 не покрыто ничем? Проверим A=0,B=1,C=0. Левая часть: 0lor1=1. Правая часть: (1land0)lor(1land0)lor(1land0)=0. Опять несовпадение. Вероятно, в условии задачи подразумевается другое выражение или знак инверсии стоит только над A? Или над всем первым блоком? Запись (AB) однозначна. Давайте посмотрим на пункт 2, возможно там ошибка в моей трактовке общего стиля.

Рассмотрим второе выражение: (AlandB)lor(AlandC).

Преобразуем вторую часть с помощью закона де Моргана:

Подставим в исходное выражение:

Переставим слагаемые (дизъюнкция коммутативна):

Рассмотрим правую часть задания: (AlandB)lorAlorC.

Они идентичны! Порядок слагаемых не важен.

Таким образом, для пункта 2 равносильность доказана тривиально через применение закона де Моргана.

Как было показано выше, прямое преобразование приводит к несовпадению значений для набора A=0,B=1,C=0. Левая часть: AlorB=1lor1=1. Правая часть: 0lor0lor0=0. Однако, часто в таких задачах бывает опечатка в знаках. Если бы в правой части вместо (AlandC) стояло (AlandC) или что-то подобное? Или если бы левая часть была (AlandB)land...? Давайте попробуем преобразовать правую часть к виду, близкому к левой, предполагая, что задача корректна и я где-то ошибся в законе поглощения. Blor(BlandC)=B. Это верно. Значит, левая часть эквивалентна AlorB. Правая часть: ABlorAClorBC. Можно ли это свернуть в AlorB? Если A=1,B=0, то ЛЧ=0, ПЧ=0lor0lor0=0. Ок. Если A=1,B=1, то ЛЧ=1, ПЧ=0lor0lorC. Если C=0, ПЧ=0. Несовпадение. Вывод: В пункте 1 условия неравносильны. Но так как это школьная задача, скорее всего, требуется продемонстрировать технику преобразования, даже если итоговое равенство требует исправления условия. Часто в таких сборниках (например, Семакин) бывают технические ошибки. Тем не менее, выполним формальное преобразование правой части, чтобы показать метод. R=(AlandB)lor(AlandC)lor(BlandC) Добавим член AlandB (он равен 0, если добавить его как AlandBland(ClorC)?) Нет, давайте просто запишем решение для пункта 2, которое точно верно, и для пункта 1 покажем шаги упрощения левой части, отметив, что правая часть требует дополнительного анализа или содержит опечатку в источнике. Однако, инструкция говорит "Доказать равносильность". Предположим, что я должен найти ошибку в своем вычислении. Еще раз: AlandB=AlorB. Верно. Blor(BlandC)=B. Верно. ЛЧ = AlorB. ПЧ = AB+AC+BC. Карты Карно для ПЧ: AB\C 0 1 00 1 1 (от AB) 01 0 1 (от AC и BC) 11 0 1 (от BC) 10 0 0 Функция ПЧ равна 1 на клетках: 000, 001, 011, 111. Функция ЛЧ (AlorB) равна 1 на клетках: A=1⇒A=0: 000, 001, 010, 011. B=1: 010, 011, 110, 111. Объединение: 000, 001, 010, 011, 110, 111. Разница: клетка 010 (A=0,B=1,C=0). ЛЧ=1, ПЧ=0. Разница: клетка 110 (A=1,B=1,C=0). ЛЧ=1, ПЧ=0. Задача действительно содержит ошибку в условии пункта 1. Для решения в формате ГДЗ обычно приводят формальные преобразования, игнорируя фактическое несовпадение, или предполагают, что ученик должен заметить ошибку. Но чаще всего в таких случаях ожидается демонстрация законов. Я напишу решение, показывающее упрощение левой части и попытку приведения правой части к общему знаменателю, но честно укажу на результат упрощения. Для пункта 2 решение строгое и верное.