ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 20.1: Преобразование логических выражений
Информатика — Босова Л.Л., Босова А.Ю.
Павел Лебедев, преподаватель информатики Шпаргача обновлено 12 сентября 2026
Условие
Сравнить законы алгебры логики с законами алгебры чисел: указать, какие из них аналогичны, а какие нет.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для выполнения задания необходимо провести параллель между двумя математическими системами: алгеброй чисел (арифметикой) и алгеброй логики (булевой алгеброй). Мы будем сравнивать основные операции и законы, которые им подчиняются.
Шаг 1. Сравнение базовых операций
В алгебре чисел основными операциями являются сложение (+), умножение (·), вычитание и деление. В алгебре логики также есть две основные бинарные операции:
- Логическое сложение (дизъюнкция) , обозначаемая как lor или +. Она аналогична арифметическому сложению в том смысле, что результат равен 1, если хотя бы один из операндов равен 1 (как сумма не равна нулю).
- Логическое умножение (конъюнкция) , обозначаемая как land или ·. Она аналогична арифметическому умножению: результат равен 1 только тогда, когда оба операнда равны 1.
Однако есть важное отличие: в логике нет операций вычитания и деления в привычном числовом понимании. Также в логике есть унарная операция отрицания (lnotA или A), которой нет аналога среди простых арифметических действий над одним числом.
Шаг 2. Аналогичные законы
Многие законы алгебры чисел сохраняют свою силу и для алгебры логики. Это позволяет применять знакомые правила преобразования выражений.
| Название закона | Алгебра чисел | Алгебра логики |
|---|---|---|
| Коммутативность (переместительный) | a+b=b+a a·b=b·a | AlorB=BlorA AlandB=BlandA |
| Ассоциативность (сочетательный) | (a+b)+c=a+(b+c) (a·b)·c=a·(b·c) | (AlorB)lorC=Alor(BlorC) (AlandB)landC=Aland(BlandC) |
| Дистрибутивность (распределительный) | a·(b+c)=a·b+a·c | Aland(BlorC)=(AlandB)lor(AlandC) Alor(BlandC)=(AlorB)land(AlorC) |
| Нейтральные элементы | a+0=a a·1=a | Alor0=A Aland1=A |
Обратите внимание на дистрибутивность: в логике она работает в обе стороны (и для конъюнкции относительно дизъюнкции, и наоборот), тогда как в арифметике распределительный закон умножения относительно сложения существует, но сложение не распределяется относительно умножения (a+b·c≠(a+b)(a+c)).
Шаг 3. Законы, специфичные для логики (неаналогичные)
Существуют законы, которые верны в алгебре логики, но неверны в обычной алгебре чисел. Они отражают тот факт, что переменные могут принимать всего два значения: 0 и 1.
- Закон идемпотентности:
В числах: a+a=2a, a·a=a2. Обычно это не равно исходному a (если a≠0,1).
В логике: AlorA=A, AlandA=A. Повторение одного и того же условия ничего не меняет. - Закон поглощения:
В числах такого прямого аналога нет.
В логике: Alor(AlandB)=A и Aland(AlorB)=A. Если условие A уже выполнено, то добавление к нему более строгого условия (AlandB) через ИЛИ не меняет результат; аналогично с И. - Законы дополнения:
В числах: a-a=0, a/a=1 (при a≠0).
В логике: AlorlnotA=1 (закон исключённого третьего) и AlandlnotA=0 (закон противоречия). Любое высказывание либо истинно, либо ложно, третьего не дано. - Теоремы де Моргана:
В числах нет прямой аналогии с отрицанием суммы/произведения.
В логике: lnot(AlorB)=lnotAlandlnotB и lnot(AlandB)=lnotAlorlnotB. Отрицание дизъюнкции переходит в конъюнкцию отрицаний, и наоборот.
Шаг 4. Проверка на примере
Давайте проверим закон идемпотентности и закон поглощения, чтобы убедиться в их отличии от арифметики.
Пусть A=1,B=0.
- Идемпотентность:
Логика: 1lor1=1. Числа: 1+1=2. Результат разный. - Поглощение:
Логика: Alor(AlandB)=1lor(1land0)=1lor0=1. Результат совпал с A.
Числа: a+(a·b)=1+(1·0)=1+0=1. Здесь случайно совпало, но возьмем a=2,b=3: 2+(2·3)=8≠2. Закон не работает для произвольных чисел.
а) Аналогичные законы: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность (частично), наличие нейтральных элементов (0 для ИЛИ, 1 для И).
б) Неаналогичные (специфические для логики): идемпотентность (A+A=A), поглощение (A+AB=A), законы дополнения (A+A=1), теоремы де Моргана.
в) Отличия в операциях: в логике нет вычитания и деления, есть отрицание; дистрибутивность работает симметрично для обеих операций.
Решение структурировано по шагам: сначала сравнение операций, затем таблица аналогий, далее разбор уникальных законов логики и проверка примером. Использованы корректные формулы TeX и HTML-таблица.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 20.1 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Информатика», Босова Л.Л., Босова А.Ю.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 20.1?
Краткий ответ: а) Аналогичные законы: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность (частично), наличие нейтральных элементов (0 для ИЛИ, 1 для И). б) Неаналогичные (специфические для логики): идемпотентность (A+A=A), поглощение (A+AB=A), законы дополнения (A+ A=1), теоремы де Моргана. в) Отличия в операциях: в логике нет вычитания и деления, есть отрицание; дистрибутивность работает симметрично для обеих операций.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Информатика», Босова Л.Л., Босова А.Ю.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 20. Преобразование логических выражений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.