ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 19.4: Таблицы истинности

Введем три логические переменные, описывающие свойства слагаемых и их суммы:

• A — «Первое слагаемое делится на 3»;
• B — «Второе слагаемое делится на 3»;
• C — «Сумма делится на 3».

Теперь запишем составные высказывания F₁ и F₂ через эти переменные.

Высказывание F₁: «Если одно слагаемое делится на 3 и сумма делится на 3, то и другое слагаемое делится на 3».

Здесь есть нюанс: фраза «одно слагаемое... и другое...» подразумевает симметрию или конкретный выбор. В контексте логики обычно рассматривают случай, когда мы фиксируем первое слагаемое (A) и проверяем второе (B). Однако более строгая математическая формулировка для такого типа задач часто предполагает проверку всех комбинаций делимости. Давайте посмотрим на структуру импликации.

Если мы считаем, что «одно слагаемое» — это A, а «другое» — это B, то условие: (AlandC)→B. Но если мы хотим учесть, что любое из двух может быть «одним», то нужно рассмотреть оба случая или использовать симметричную запись. Однако, глядя на F₂, видно, что там явно противопоставляются A и ¬B. Поэтому для единообразия будем считать, что в F₁ речь идет о том же самом «первом» слагаемом A как об известном факте, и проверяется следствие для второго B. Или же, что более вероятно в школьных задачах на эквивалентность, формулировки должны быть зеркальными.

Давайте проанализируем F₂: «Если одно слагаемое делится на 3 (A), а другое не делится (¬B), то сумма не делится (¬C)». Формула: (Aland¬B)→¬C.

Вернемся к F₁. Если мы возьмем формулу (AlandC)→B, то она означает: «Если A верно и C верно, то B верно». Это логически эквивалентно контрапозиции формулы F₂? Контрапозиция (Aland¬B)→¬C есть C→¬(Aland¬B), то есть C→(¬AlorB). Это не совсем то же самое, что (AlandC)→B.

Однако, давайте вспомним свойство делимости сумм. Сумма делится на 3 тогда и только тогда, когда остатки от деления слагаемых на 3 в сумме дают число, кратное 3 (или 0).

Рассмотрим стандартную интерпретацию таких задач в информатике. Часто под «одно слагаемое» подразумевается произвольное, но фиксированное. Давайте построим таблицы для наиболее вероятных формализаций и проверим совпадение.

Формализация F₁: Пусть A — первое делится, B — второе делится, C — сумма делится. Утверждение: Если A и C, то B. То есть F₁=(AlandC)→B.

Формализация F₂: Утверждение: Если A и не B, то не C. То есть F₂=(Aland¬B)→¬C.

Проверим, эквивалентны ли эти две формулы логически.

Выражение: F₁=(AlandC)→B.

Столбец F₁: 1,1,1,1,1,0,1,1.

Выражение: F₂=(Aland¬B)→¬C.

Столбец F₂: 1,1,1,1,1,0,1,1.

Сравним результирующие столбцы F₁ и F₂:

• F₁: 1,1,1,1,1,0,1,1
• F₂: 1,1,1,1,1,0,1,1

Столбцы полностью совпадают. Это означает, что логические выражения эквивалентны.

Математическое обоснование: Импликация P→Q эквивалентна своей контрапозиции ¬Q→¬P. Для F₁=(AlandC)→B контрапозицией является ¬B→¬(AlandC), что равносильно ¬B→(¬Alor¬C). Для F₂=(Aland¬B)→¬C контрапозицией является C→¬(Aland¬B), что равносильно C→(¬AlorB). Хотя прямая контрапозиция одной формулы не дает другую, они оказываются эквивалентными в силу свойств булевой алгебры и конкретного набора переменных, связанных арифметикой делимости (хотя здесь мы доказали чистую логическую эквивалентность без учета связи между A, B и C, так как таблица строилась по всем возможным комбинациям истинностных значений).

Таким образом, мы убедились, что результирующие столбцы совпадают.