ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 18.16: Алгебра логики

Вспомним таблицу истинности для операции следования (→). Импликация A→B ложна только в одном случае: когда посылка A истинна, а заключение B ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Следовательно, чтобы найти множество истинности предиката, можно пойти двумя путями: 1. Найти все x, при которых предикат ложен, и исключить их из множества целых чисел. 2. Разобрать случаи истинности напрямую. Первый путь часто бывает проще для проверки граничных значений. Обозначим: A(x):8x-6<75 B(x):x(x-1)>65 Предикат ложен, если выполняется система: {A(x)— истинаB(x)— ложь

Решим неравенство 8x-6<75:

Так как мы работаем с целыми числами, то условие A(x) истинно при x≤10. То есть x∈(-∞;10]∩Z.

Условие B(x): x(x-1)>65. Нам нужно найти, когда это условие ложно , так как именно в этом сочетании с истинной посылкой предикат будет ложным. Ложность B(x) означает выполнение обратного неравенства: x(x-1)≤65 x²-x-65≤0 Найдем корни квадратного уравнения x²-x-65=0: D=(-1)²-4·1·(-65)=1+260=261 x_1,2=1±261/2 Оценим 1±261/2. Так как 16²=256 и 17²=289, то 1±261/2≈8,5. Более точно: 1-261/2≈-7,5 и 1+261/2≈8,5. Неравенство x²-x-65≤0 выполняется между корнями: 1-261/2≤x≤1+261/2 Поскольку x — целое число, проверим границы: При x=-7: (-7)(-8)=56≤65 (истина). При x=-8: (-8)(-9)=72>65 (ложь для условия ¬B, значит B истинно). При x=8: 8(7)=56≤65 (истина). При x=9: 9(8)=72>65 (ложь для условия ¬B, значит B истинно).

Таким образом, условие «B(x) ложно» (то есть x(x-1)≤65) выполняется для целых x в диапазоне: -7≤x≤8

Предикат ложен, когда одновременно: 1. x≤10 (из Шага 2) 2. -7≤x≤8 (из Шага 3)

Пересечение этих множеств дает нам диапазон целых чисел, на которых предикат принимает значение «Ложь»: x∈[-7;8]∩Z То есть предикат ложен при x∈{-7,-6,...,7,8}.

Множество истинности предиката — это все остальные целые числа, не входящие в найденный интервал лжи. T=Zsetminus{-7,-6,...,8} Или в виде объединения промежутков: T=(-∞;-8]∪[9;+∞) где скобки означают включение границ для целых чисел (так как -8 и 9 дают истинное высказывание).

Теперь ответим на второй вопрос задачи: «указать наибольшее целое число x, при котором предикат превращается в ложное высказывание» .

Мы выяснили, что предикат ложен при x∈[-7;8]. Наибольшее целое число в этом множестве — это 8.

Проверка для x=8: A(8):8(8)-6=64-6=58<75 (Истина). B(8):8(7)=56>65 (Ложь). Истина → Ложь = Ложь. Верно.

Проверка для x=9 (следующее число): A(9):8(9)-6=72-6=66<75 (Истина). B(9):9(8)=72>65 (Истина). Истина → Истина = Истина. Предикат истинен.

Проверка для x=-7 (меньшая граница лжи): A(-7):8(-7)-6=-56-6=-62<75 (Истина). B(-7):-7(-8)=56>65 (Ложь). Истина → Ложь = Ложь. Верно.

Проверка для x=-8 (вне диапазона лжи): A(-8):8(-8)-6=-70<75 (Истина). B(-8):-8(-9)=72>65 (Истина). Истина → Истина = Истина. Предикат истинен.