ГДЗ по информатике, 10 класс, Босова, номер 18.14: Алгебра логики

Дано уравнение: x₁&x₂lorx₃&x₄=1.

В информатике приоритет операций обычно следующий: сначала конъюнкция (&, И), затем дизъюнкция (lor, ИЛИ). Скобки в условии не указаны явно, но стандартная запись подразумевает группировку по приоритету. Таким образом, выражение можно переписать как:

Обозначим две части выражения как отдельные логические величины:

• A=x₁&x₂
• B=x₃&x₄

Тогда уравнение принимает вид: AlorB=1.

Логическая операция дизъюнкции (lor) возвращает значение 1 (истина) в трёх случаях:

1. A=1 и B=0;
2. A=0 и B=1;
3. A=1 и B=1.

Единственный случай, когда AlorB=0, это когда оба операнда равны нулю (A=0 и B=0).

Проще всего найти количество решений через метод дополнения: вычислим общее количество возможных наборов переменных и вычтем из него количество наборов, при которых выражение ложно (0).

В уравнении участвуют 4 независимые булевы переменные: x_1,x_2,x_3,x₄. Каждая переменная может принимать одно из двух значений (0 или 1).

Общее количество комбинаций значений для n переменных вычисляется по формуле 2ⁿ.

Таким образом, всего существует 16 различных наборов значений переменных.

Выражение (x₁&x₂)lor(x₃&x₄) равно 0 тогда и только тогда, когда обе скобки равны 0:

Рассмотрим первую часть: x₁&x₂=0.

Конъюнкция равна 0 во всех случаях, кроме одного — когда оба аргумента равны 1 (x₁=1,x₂=1).

Количество вариантов для пары (x_1,x₂), дающих 0: всего 2²=4 варианта минус 1 вариант (1,1), то есть 3 варианта: (0,0),(0,1),(1,0).

Аналогично рассмотрим вторую часть: x₃&x₄=0.

Здесь также 3 подходящих варианта для пары (x_3,x₄): (0,0),(0,1),(1,0).

Поскольку выбор значений для первой пары и второй пары независим, количество наборов, при которых всё выражение равно 0, равно произведению количеств вариантов:

Количество решений, при которых уравнение истинно (=1), равно общему количеству наборов минус количество наборов, при которых оно ложно (=0):

Проверка прямым подсчётом случаев истинности (AlorB=1):

• Случай 1: A=1,B=0.
  A=1⇒x₁=1,x₂=1 (1 вариант).
  B=0⇒ 3 варианта для x_3,x₄.
  Итого: 1·3=3 набора.
• Случай 2: A=0,B=1.
  A=0⇒ 3 варианта для x_1,x₂.
  B=1⇒x₃=1,x₄=1 (1 вариант).
  Итого: 3·1=3 набора.
• Случай 3: A=1,B=1.
  A=1⇒ 1 вариант.
  B=1⇒ 1 вариант.
  Итого: 1·1=1 набор.

Сумма: 3+3+1=7. Результат совпадает.