ГДЗ по информатике, 10 класс, Поляков, номер 16.7: Логические операции

Это самый надежный и универсальный метод для проверки логических тождеств, особенно когда количество переменных невелико (обычно до 4-5).

• Суть метода: Логическое равенство A=B считается доказанным, если при всех возможных комбинациях значений входящих в него переменных значения выражений A и B совпадают.
• Алгоритм действий:
  1. Определить все уникальные логические переменные, входящие в обе части равенства.
  2. Построить таблицу истинности, содержащую 2ⁿ строк, где n — количество переменных.
  3. Вычислить значение левой части равенства (L) для каждой строки.
  4. Вычислить значение правой части равенства (R) для каждой строки.
  5. Сравнить столбцы L и R. Если они идентичны во всех строках, равенство верно.

Пример: Докажем закон де Моргана ¬(A•B)=¬A+¬B.

Так как столбцы «Левая часть» и «Правая часть» совпадают, равенство доказано.

Этот метод основан на использовании аксиом и законов булевой алгебры для преобразования одной части равенства в другую.

• Суть метода: Мы начинаем со сложного выражения и последовательно применяем законы логики (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, законы поглощения, двойного отрицания и др.), пока не получим вторую часть равенства.
• Преимущества: Не требует построения громоздких таблиц при большом числе переменных; развивает навык логического вывода.
• Недостатки: Требует хорошего знания законов алгебры логики; иногда трудно найти правильный путь преобразований.

Пример: Докажем равенство A+A•B=A (закон поглощения).

1. Вынесем общий множитель A за скобки (распределительный закон): A(1+B).
2. Используем свойство дизъюнкции с единицей: (1+B)=1.
3. Используем свойство конъюнкции с единицей: A•1=A.
4. Получили правую часть исходного равенства. Доказательство завершено.

Чтобы опровергнуть логическое равенство, не нужно проверять все возможные случаи. Достаточно найти хотя бы один случай, когда равенство нарушается.

• Суть метода: Подобрать такие значения переменных, при которых левая часть равна 1, а правая 0 (или наоборот).
• Алгоритм действий:
  1. Предположить, что равенство неверно.
  2. Попробовать подставить простые значения (например, все нули или все единицы).
  3. Если при какой-то комбинации значений результаты левой и правой частей различаются, равенство опровергнуто.

Пример: Опровергнем ложное утверждение A+B=A•B.

1. Пусть A=1,B=0.
2. Левая часть: 1+0=1.
3. Правая часть: 1•0=0.
4. Так как 1≠0, равенство не выполняется. Утверждение опровергнуто.

Выбор метода зависит от задачи:

• Для доказательства сложных формул с малым числом переменных удобнее использовать таблицы истинности , так как это механический процесс, исключающий ошибки в рассуждениях.
• Для доказательства формул с большим числом переменных или для упрощения схем лучше подходит алгебраический метод .
• Для опровержения всегда эффективнее всего искать контрпример . Это быстрее, чем строить полную таблицу, если вы можете интуитивно подобрать неудачную комбинацию.

Важно помнить: логическое равенство является тождеством только тогда, когда оно верно для всех возможных наборов значений переменных.