ГДЗ по математике, 3 класс, Моро, номер p104.2: Готовимся к олимпиаде

План решения:

1. Определим сумму чисел в строке (столбце) магического квадрата. Для этого сложим все числа, которые должны быть в квадрате: уже стоящие 10,8,7,11 и те, что нужно разместить 3,4,5,6,9. Всего чисел должно быть 9 (так как это квадрат 3×3, судя по количеству известных и неизвестных клеток, хотя условие говорит о "квадрате 1", обычно в таких задачах для 3 класса подразумевается стандартный магический квадрат 3×3 или 4×4. Давайте проверим количество клеток. В условии сказано: "В свободных клетках квадрата 1". Обычно "Квадрат 1" на странице учебника — это конкретная фигура. Если дано 4 числа и нужно разместить 5, то всего чисел 4+5=9. Это соответствует магическому квадрату размера 3×3. 2. Найдем магическую константу (сумму одной строки). Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Но у нас набор чисел другой: {3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Это арифметическая прогрессия с шагом 1. Сумма этих девяти чисел: S=3+4+5+6+7+8+9+10+11=63 Так как в квадрате 3×3 есть 3 строки, сумма каждой строки должна быть: M=63:3=21 Значит, каждая строка, каждый столбец и каждая диагональ должны давать в сумме 21. 3. Разместим числа. Нам известны позиции некоторых чисел? В условии не приведена схема расположения известных чисел (10,8,7,11). Однако, в типовых задачах такого рода часто подразумевается, что известные числа занимают определенные места, либо их можно расставить так, чтобы они образовывали часть структуры. Без схемы расположения известных чисел задачу решить однозначно невозможно, если только не предполагается, что мы сами выбираем места для всех чисел, но тогда "уже стоят" теряет смысл. Давайте предположим стандартную конфигурацию для магического квадрата из последовательных чисел. Центральный элемент всегда равен среднему арифметическому всех чисел. Среднее число в наборе 3...11 — это 7. Значит, в центре квадрата стоит число 7. Оно уже дано в списке "уже стоят". Это хороший ориентир. Если центр занят числом 7, то противоположные углы и середины сторон в сумме дают 2×7=14. Нам нужно разместить 3,4,5,6,9 в свободные клетки, учитывая, что 10,8,11 тоже где-то стоят. Обычно в таких задачах без картинки подразумевается, что ученик видит схему. Поскольку схемы нет, я приведу решение для одного из возможных вариантов, где числа 10,8,7,11 расположены логично относительно центра 7. Допустим, 7 в центре (2,2). Пусть 10 стоит в углу (1,1). Тогда противоположный угол (3,3) должен содержать число x, такое что 10+x=14⇒x=4. Число 4 есть в нашем наборе. Пусть 8 стоит в середине стороны (1,2). Тогда противоположная середина (3,2) должна содержать y, такое что 8+y=14⇒y=6. Число 6 есть. Пусть 11 стоит в другом углу (1,3). Тогда противоположный угол (3,1) должен содержать z, такое что 11+z=14⇒z=3. Число 3 есть. Осталось число 5 и 9. Они должны занять оставшиеся середины сторон (2,1) и (2,3). Проверим суммы строк и столбцов при такой расстановке: Строка 1: 10,8,11. Сумма: 10+8+11=29≠21. Этот вариант не подходит. Попробуем другой подход. Магический квадрат 3×3 из чисел 3..11 получается добавлением 2 к каждому числу классического магического квадрата из чисел 1..9. Классический квадрат (Лобанский/Конфуций):

Сумма строк 15. Добавим ко всем элементам 2: Проверим суммы: 10+3+8=21, 5+7+9=21, 6+11+4=21. Столбцы: 10+5+6=21, 3+7+11=21, 8+9+4=21. Диагонали: 10+7+4=21, 8+7+6=21. Все верно. Теперь посмотрим, какие числа у нас "уже стоят": 10,8,7,11. В полученном квадрате: - 10 стоит в (1,1) - 8 стоит в (1,3) - 7 стоит в (2,2) (центр) - 11 стоит в (3,2) Это вполне возможное расположение. Если в задаче эти числа зафиксированы именно в этих позициях (или аналогичных симметричных), то нам нужно заполнить остальные клетки числами 3,4,5,6,9. Свободные клетки в этом варианте: (1,2), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3). Числа для размещения: 3,4,5,6,9. Из нашего построенного квадрата: - В (1,2) стоит 3 - В (2,1) стоит 5 - В (2,3) стоит 9 - В (3,1) стоит 6 - В (3,3) стоит 4 Все эти числа входят в список размещаемых. Таким образом, решение существует. Вычисление и заполнение: Мы использовали свойство линейности магических квадратов. Если взять базовый магический квадрат 3×3 с суммой 15 и прибавить к каждому числу константу k, то новая сумма будет 15+3k. Нам нужна сумма 21, значит 15+3k=21⇒3k=6⇒k=2. Базовые числа 1..9 превращаются в 3..11. Расположение чисел в итоговом квадрате: Первая строка: 10,3,8 Вторая строка: 5,7,9 Третья строка: 6,11,4 Проверим условия задачи: 1. Использованы все числа 3,4,5,6,9 в свободных клетках? - В исходном квадрате были 10,8,7,11. - Мы добавили 3,5,9,6,4. Да, это ровно те числа, которые требовалось разместить. 2. Получился ли магический квадрат? - Строки: 10+3+8=21, 5+7+9=21, 6+11+4=21. - Столбцы: 10+5+6=21, 3+7+11=21, 8+9+4=21. - Диагонали: 10+7+4=21, 8+7+6=21. Да, является магическим. Проверка: Убедимся, что нет других интерпретаций. Если бы известные числа стояли иначе, например, 10 и 8 в одной строке с другим числом, решение могло бы отличаться. Однако, поскольку в условии не задана жесткая сетка для известных чисел, а просто сказано "уже стоят", наиболее вероятным контекстом является наличие конкретной картинки в учебнике, которая совпадает с одним из симметричных вариантов классического квадрата. Вариант выше — один из канонических решений. Итоговая таблица магического квадрата: