ГДЗ по математике, 3 класс, Моро, номер p104.3: Готовимся к олимпиаде

План решения:

• Определим магическую сумму квадрата. В магическом квадрате 3×3 сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали одинакова.
• Найдём центральный элемент. Для нечётных магических квадратов центр всегда равен трети магической суммы или среднему арифметическому всех чисел.
• Расставим оставшиеся числа (3,7,9,11,17,19) по клеткам, опираясь на то, что числа 13,15,5 уже стоят на своих местах (согласно условию задачи о «квадрате 2», обычно подразумевается стандартная расстановка для набора чисел, но здесь даны конкретные фиксированные значения). Проверим совместимость данных чисел с магическим квадратом.

Вычисление:

Сначала проанализируем набор всех чисел: {3,5,7,9,11,13,15,17,19}. Это арифметическая прогрессия с шагом 2.

Сумма всех девяти чисел равна: S_total=3+5+7+9+11+13+15+17+19=99 Магическая сумма одной строки (столбца/диагонали) равна: M=99/3=33 Центральное число должно быть таким, чтобы оно участвовало в двух диагоналях, среднем столбце и средней строке. В любом магическом квадрате 3×3 из последовательных чисел центральное число — это медиана набора. Отсортируем числа: 3,5,7,9,11,13,15,17,19. Центральное число — 11 .

В условии сказано, что числа 13,15 и 5 остаются на местах. Обычно в таких задачах под «квадратом 2» подразумевается определённая конфигурация. Давайте проверим, где могут стоять 13,15,5, если центр — 11. Если мы построим классический магический квадрат из этих чисел (по аналогии с квадратом Ло Шу, умноженным на 2 и смещенным), то угловые клетки занимают чётные позиции в прогрессии относительно центра? Нет, в квадрате Ло Шу углы — это чётные числа (2,4,6,8), а середины сторон — нечётные (1,3,7,9). У нас все числа нечётные. Давайте попробуем восстановить квадрат, зная, что сумма строк равна 33. Пусть квадрат выглядит так:

Мы знаем, что e=11 (центр). Числа 13,15,5 зафиксированы. Где они могут быть? Проверим возможные комбинации для строк/столбцов, дающих 33. Например, если 15 стоит в углу, то две другие клетки этой строки/столбца должны давать 33-15=18. Пары из оставшихся ightarrow нет подходящих пар для угла, если соседние клетки тоже ограничены. Стандартный магический квадрат для ряда 1..9 имеет вид: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Для нашего ряда 3..19 (шаг 2) структура та же, только числа заменены: x_i=2i+1. Соответствие: 1→3,2→5,...,9→19. Квадрат Ло Шу (1-9): Наш квадрат (подставляем соответствующие числа): Проверим суммы: Строка 1: 17+3+13=33. OK. Строка 2: 7+11+15=33. OK. Строка 3: 9+19+5=33. OK. Столбец 1: 17+7+9=33. OK. Столбец 2: 3+11+19=33. OK. Столбец 3: 13+15+5=33. OK. Диагональ 1: 17+11+5=33. OK. Диагональ 2: 13+11+9=33. OK. Теперь посмотрим на условие: «Оставляя на местах числа 13, 15 и 5». В полученном нами квадрате числа 13,15,5 находятся в третьем столбце (справа сверху вниз). Если исходный «квадрат 2» имел именно эту расстановку (или её поворот/отражение), то нам нужно заполнить остальные клетки. В нашем найденном квадрате пустые клетки были бы заполнены числами 17,3,7,11,9,19. Но 11 — это центр, он тоже должен быть расставлен, если его не было в списке «оставленных». Однако в условии перечислены только 13, 15, 5 как оставленные. Значит, центр 11 тоже является «пустой клеткой» для заполнения, либо он был задан неявно. Но список чисел для расстановки: 3,7,9,11,17,19. Да, 11 есть в списке для расстановки. Таким образом, решение сводится к тому, чтобы разместить числа 3,7,9,11,17,19 вокруг уже стоящих 13,15,5. Исходя из структуры выше, если 13,15,5 стоят в правом столбце, то: Верхний правый угол: 13. Средний правый: 15. Нижний правый: 5. Тогда остальная часть квадрата определяется однозначно (с точностью до симметрии, но магический квадрат 3×3 уникален с точностью до поворотов и отражений). Заполним остальные клетки согласно структуре: Левый верхний угол (a): 17. Верхняя середина (b): 3. Левая середина (d): 7. Центр (e): 11. Нижняя левая (g): 9. Нижняя середина (h): 19. Проверим, подходят ли эти числа к списку для расстановки: 3,7,9,11,17,19. Да, все присутствуют.