ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 5.244: Обыкновенные дроби

План решения:

Чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно делиться на 2 и на 9. Это означает, что последняя цифра нового числа должна быть чётной (0,2,4,6,8), а сумма всех его цифр должна делиться на 9.

Вычисление:

Исходное число: 78 059 342. Сумма его цифр равна: S=7+8+0+5+9+3+4+2=38 Нам нужно вычеркнуть две цифры так, чтобы новая сумма цифр S′ делилась на 9. Так как мы убираем только две цифры, максимальное уменьшение суммы возможно при удалении двух девяток (если бы они были) или других крупных цифр. Проверим возможные остатки от деления 38 на 9: 38=4·9+2. Значит, остаток равен 2. Чтобы сумма стала кратной 9, нам нужно уменьшить сумму на 2 (получим 36) или на 11 (получим 27), или на 20 (получим 18).

Рассмотрим вариант уменьшения суммы на 2. Для этого нужно вычеркнуть цифры, сумма которых равна 2. В числе есть одна цифра 2 и одна цифра 0. Если вычеркнуть 0 и 2, то оставшиеся цифры будут: 7,8,5,9,3,4. Из них нужно составить число, делящееся на 2. Последней цифрой должен быть один из оставшихся чётных элементов: 8 или 4. 1. Попробуем оставить 4 в конце. Вычеркиваем 0 и 2. Оставшиеся цифры в порядке следования: 7,8,5,9,3,4. Число: 78 593 4. Оно не является натуральным числом в привычном смысле записи без разделителей, но это шестизначное число 785 934. Проверим делимость на 2: оканчивается на 4 — да. Проверим делимость на 9: сумма цифр 7+8+5+9+3+4=36, делится на 9 — да. Значит, число 785 934 подходит. 2. Попробуем оставить 8 в конце. Для этого нужно переставить цифры? Нет, порядок цифр сохраняется. Если мы вычеркнули 0 и 2, то последняя цифра исходного числа (2) исчезла. Предпоследняя была 4. Она станет последней. Мы не можем заставить 8 стать последней, если после неё идут другие цифры, которые мы не вычеркнули. В исходном числе после 8 идут 0,5,9,3,4,2. Если мы хотим, чтобы число оканчивалось на 8, нам нужно вычеркнуть все цифры после 8, кроме самой 8? Но мы имеем право вычеркнуть только две цифры. После 8 стоит 6 цифр. Мы не можем их все убрать. Значит, последняя цифра нового числа будет выбрана из тех, что стоят в конце исходного числа, либо это будет цифра, которая оказалась последней после удаления двух предыдущих. Давайте систематизируем поиск по условию «делится на 2». Возможные последние цифры нового числа (выбираем из 7,8,0,5,9,3,4,2): - Если последняя цифра 2: её нельзя вычеркнуть. Тогда вторая вычеркнутая цифра должна быть такой, чтобы сумма остальных делилась на 9. Исходная сумма 38. Если оставляем 2 на конце, значит, она входит в сумму. Нам нужно вычеркнуть одну другую цифру x так, чтобы (38-x) делилось на 9. 38-x=36⇒x=2. Но у нас только одна двойка, и она уже занята как последняя. Или 38-x=27⇒x=11 (невозможно). Значит, вариант с окончанием на 2 не проходит через удаление одной другой цифры. - Если последняя цифра 4: её нельзя вычеркнуть. Нужно вычеркнуть две цифры a,b так, чтобы 38-a-b делилось на 9, и при этом 4 осталась последней. То есть все цифры после 4 (это 2) должны быть вычеркнуты или 4 должна стать последней. В исходном числе после 4 идёт 2. Чтобы 4 стала последней, нужно вычеркнуть 2. Тогда одна вычеркнутая цифра — 2. Вторая вычеркнутая цифра x должна удовлетворять условию: сумма оставшихся делится на 9. Текущая сумма без 2: 38-2=36. Она уже делится на 9. Значит, вторую цифру можно выбрать любую? Нет, мы должны сохранить структуру. Если мы вычеркнули 2, то число заканчивается на 4. Сумма цифр числа 7805934 равна 36. Делится на 9. Число оканчивается на 4 (чётное). Делится на 2. Значит, делится на 18. Мы вычеркнули только одну цифру (2). По условию нужно вычеркнуть две . Значит, нам нужно вычеркнуть ещё одну цифру y так, чтобы сумма снова делилась на 9. Новая сумма будет 36-y. Чтобы 36-y делилось на 9, y должно быть кратно 9. В числе 7805934 есть цифра 9. Вычеркнем 9 и 2. Получаем число 780534. Проверка: оканчивается на 4 (чётное). Сумма цифр: 7+8+0+5+3+4=27. Делится на 9. Подходит! - Если последняя цифра 0: нужно вычеркнуть всё после 0 (5,9,3,4,2) — это 5 цифр, нельзя. - Если последняя цифра 8: нужно вычеркнуть всё после 8 (0,5,9,3,4,2) — нельзя. Таким образом, одно из решений: вычеркнуть цифры 9 и 2. Получается число 78 053 4. Проверим другие варианты. Может быть, вычеркнуть 0 и 2? Тогда остаётся 785934. Сумма 36, делится на 9. Оканчивается на 4, делится на 2. Это тоже верный ответ. В условии сказано «нужно вычеркнуть», обычно подразумевается найти хотя бы один вариант или все. Часто в таких задачах достаточно привести один пример. Ещё вариант: вычеркнуть 5 и 2? Сумма 38-7=31 (не делится). Вычеркнуть 7 и 2? Сумма 38-9=29 (не делится). Вычеркнуть 8 и 2? Сумма 38-10=28 (не делится). Вычеркнуть 3 и 2? Сумма 38-5=33 (не делится). Вычеркнуть 4 и 2? Нельзя, так как 4 нужна для четности, если она последняя. Если вычеркнуть 4, то последняя станет 2 (если не вычеркнуть 2). Но мы вычеркнули 2. Тогда последняя цифра будет та, что перед 2, т.е. 4, но мы её вычеркнули. Перед ней 3. Число 780593. Нечётное. Не подходит. Итак, рабочие пары вычеркиваемых цифр: 1. 9 и 2. Число: 78 053 4. Сумма: 27. Конец: 4. Делится на 18. 2. 0 и 2. Число: 78 593 4. Сумма: 36. Конец: 4. Делится на 18. 3. Можно ли вычеркнуть две цифры, чтобы число оканчивалось на другую чётную цифру? Например, оканчивалось на 0? Для этого нужно вычеркнуть 5,9,3,4,2. Много. Оканчивалось на 8? Нужно вычеркнуть 0,5,9,3,4,2. Много. Оканчивалось на 4? Мы рассмотрели случаи, когда 2 вычеркнута. А если 2 не вычеркнута, но она не последняя? Тогда последняя должна быть другой чётной цифрой, идущей после неё? После 2 ничего нет. Значит, если 2 не вычеркнута, она обязана быть последней. Мы проверили этот случай выше: чтобы 2 была последней, нужно вычеркнуть все цифры после неё (их нет), но тогда нужно вычеркнуть две цифры до неё так, чтобы сумма делилась на 9. Исходная сумма 38. Нужно вычесть x+y так, чтобы 38-(x+y) делилось на 9. Варианты разности: 2,11,20. - Разность 2: x+y=2. Цифры 0 и 2? Но 2 мы не вычеркиваем (она последняя). Значит, нужны две цифры, дающие в сумме 2, среди 7,8,0,5,9,3,4. Есть только 0 и... нет другой единицы или двойки. Только одна 0. Не подходит. - Разность 11: x+y=11. Пары из 7,8,0,5,9,3,4: 7+4=11, 8+3=11. - Если вычеркнуть 7 и 4: остаётся 805932. Сумма 27. Оканчивается на 2. Делится на 18. Это третий вариант! - Если вычеркнуть 8 и 3: остаётся 705942. Сумма 27. Оканчивается на 2. Делится на 18. Четвёртый вариант. - Разность 20: x+y=20. Максимум 9+8=17. Не подходит. Таким образом, есть несколько правильных ответов. В школьной практике обычно достаточно указать один.

Проверка:

Возьмём вариант вычеркивания цифр 9 и 2. Получаем число 780 534. 1. Делимость на 2: число оканчивается на 4, значит, оно чётное. 2. Делимость на 9: сумма цифр 7+8+0+5+3+4=27. Число 27 делится на 9. Так как число делится на 2 и на 9, оно делится на 18.