ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 454: Выборочные оценки среднего значения и дисперсии
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Для неизвестного параметра θ генеральной совокупности по случайной выборке объёмом n построили оценку θ. Оказалось, что θ — случайная величина с математическим ожиданием θ и дисперсией 1/4n. Докажите, что полученная оценка состоятельна.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы доказать состоятельность оценки θ, необходимо показать, что она сходится по вероятности к истинному значению параметра θ. Вспомним определение: оценка θn называется состоятельной, если для любого β>0 выполняется условие:
limn→∞P(|θn-θ|<β)=1или, что эквивалентно, вероятность отклонения оценки от истинного значения стремится к нулю:
limn→∞P(|θn-θ|≥β)=0Шаг 1. Применение неравенства Чебышёва
Для доказательства сходимости по вероятности удобно использовать неравенство Чебышёва. Оно связывает вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания с дисперсией этой величины.
По условию задачи нам даны характеристики оценки θ:
- Математическое ожидание: M(θ)=θ;
- Дисперсия: D(θ)=1/4n.
Согласно неравенству Чебышёва, для любой случайной величины X с конечной дисперсией и любого β>0 справедливо:
P(|X-M(X)|≥β)≤D(X)/β2Подставим в это неравенство нашу оценку θ вместо X, а её математическое ожидание θ вместо M(X):
P(|θ-θ|≥β)≤D(θ)/β2Шаг 2. Подстановка данных и предельный переход
Теперь подставим известное выражение для дисперсии D(θ)=1/4n в правую часть неравенства:
P(|θ-θ|≥β)≤1/4n/β2=1/4nβ2Нам нужно исследовать поведение этой вероятности при увеличении объёма выборки n. Вычислим предел правой части неравенства при n→∞. Поскольку β — фиксированное положительное число, то 4β2 — константа.
limn→∞1/4nβ2=0Так как вероятность неотрицательна (P≥0), а её верхняя граница стремится к нулю, то по теореме о зажатой последовательности (или просто из свойств предела) сама вероятность также стремится к нулю:
limn→∞P(|θ-θ|≥β)=0Шаг 3. Заключение о состоятельности
Мы получили, что для любого β>0:
limn→∞P(|θ-θ|≥β)=0Это означает, что вероятность того, что оценка θ отклонится от истинного значения θ на величину, большую или равную β, становится сколь угодно малой при достаточно большом объёме выборки n.
В соответствии с определением, если оценка сходится по вероятности к оцениваемому параметру, то она является состоятельной. Следовательно, оценка θ состоятельна.
Оценка состоятельна, так как limn→∞D(θ)=0 и M(θ)=θ, что по неравенству Чебышёва обеспечивает сходимость по вероятности.
Задача требует формального доказательства через определение состоятельности и неравенство Чебышёва. Ключ указывает именно на этот метод. Важно подчеркнуть, что дисперсия зависит от n и стремится к нулю.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 454 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 454?
Краткий ответ: Оценка состоятельна, так как _n ∞ D( ) = 0 и M( ) = , что по неравенству Чебышёва обеспечивает сходимость по вероятности.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 44. Выборочные оценки среднего значения и дисперсии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.