ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 456: Выборочные оценки среднего значения и дисперсии
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Предложите два способа получить доверительный интерал для вероятности p длиной не более 0.1, если при заданной надежности предыдущий опыт дал интервал (0.1;0.3).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче рассматривается связь между длиной доверительного интервала для вероятности p, надежностью (доверительной вероятностью) и объемом выборки. Нам дано, что текущий интервал имеет вид (0.1;0.3), а его длина составляет L=0.3-0.1=0.2. Требуется получить новый интервал с длиной не более 0.1.
Шаг 1. Анализ формулы длины доверительного интервала
Доверительный интервал для вероятности p при большом объеме выборки n обычно строится по формуле:
p≈w±zα/2w(1-w)/nгде w — относительная частота события в выборке, zα/2 — критическое значение нормального распределения, зависящее от надежности β=1-α, а n — объем выборки.
Полуширина интервала равна:
d=zα/2w(1-w)/nДлина всего интервала L=2d. Чтобы уменьшить длину L с 0.2 до 0.1 (то есть вдвое), нужно уменьшить полуширину d вдвое. Из формулы видно, что на величину d влияют два основных параметра: коэффициент zα/2 (зависящий от надежности) и знаменатель под корнем n (объем выборки).
Шаг 2. Первый способ: изменение надежности
Коэффициент zα/2 напрямую зависит от выбранной надежности β. Чем выше надежность, тем больше zα/2 и шире интервал. И наоборот, если мы хотим сузить интервал, не меняя объем данных, нам нужно снизить требования к надежности.
Например, стандартная надежность 95% соответствует z≈1.96. Если снизить надежность до 68% (z≈1), то ширина интервала уменьшится примерно в 1.96 раза, что как раз позволит достичь нужного сокращения длины почти вдвое.
Вывод по первому способу: необходимо снизить доверительную вероятность (надежность) . Это приведет к уменьшению множителя zα/2 и, соответственно, к сужению доверительного интервала.
Шаг 3. Второй способ: увеличение объема выборки
Если мы хотим сохранить прежнюю высокую надежность (например, 95% или 99%), то изменить коэффициент zα/2 нельзя. В этом случае единственным способом уменьшить ошибку оценки является увеличение объема выборки n.
Так как ошибка пропорциональна 1/n, то для того чтобы уменьшить ошибку (и длину интервала) в 2 раза, необходимо увеличить объем выборки n в 22=4 раза.
Это означает, что нужно провести дополнительные наблюдения (эксперименты), чтобы накопить больше статистических данных.
Вывод по второму способу: необходимо провести дополнительные опыты (увеличить объем выборки). Это уменьшит стандартную ошибку среднего и сузит доверительный интервал при той же надежности.
а) снизить доверительную вероятность
б) провести дополнительные опыты
Задача проверяет понимание параметров, влияющих на точность статистической оценки. Длина доверительного интервала обратно пропорциональна корню из объема выборки и прямо пропорциональна квантилю нормального распределения (который растет с увеличением надежности). Следовательно, чтобы сократить интервал, можно либо пожертвовать надежностью (уменьшить квантиль), либо повысить точность за счет большего количества данных (увеличить n).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 456 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 456?
Краткий ответ: 1) снизить доверительную вероятность; 2) провести дополнительные опыты.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 44. Выборочные оценки среднего значения и дисперсии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.