ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 458: Выборочные оценки среднего значения и дисперсии

Выборочная доля w рассчитывается как отношение числа проголосовавших за кандидата А к общему числу опрошенных в данной группе (или к числу бюллетеней, если они рассматриваются как единицы наблюдения для этой конкретной оценки). В условии сказано: «проголосовали: 50 бюллетеней, за А: 34». Обычно при оценке доли на основе опроса или подсчета голосов мы берем количество favorable исходов деленное на общее количество наблюдений в выборке, которая используется для оценки.

Здесь есть нюанс формулировки: «выборщики: 500 чел., проголосовали: 50 бюллетеней». Это может означать, что из 500 человек только 50 заполнили бюллетени, либо это две разные группы. Однако фраза «Оцените долю голосов... (выборщики: 500 чел., проголосовали: 50 бюллетеней, за А: 34)» чаще всего в школьных задачах такого типа подразумевает, что у нас есть выборка объемом n=50 (так как именно эти 50 бюллетеней содержат информацию о голосах), и в ней m=34 голоса за А. Число 500 может быть общим числом избирателей или размером более широкой выборки, но данные о голосах (34 из 50) относятся к конкретному подмножеству. Если бы мы считали долю от 500, то знаменатель был бы 500, а числитель 34 (если остальные не голосовали за А явно) или неизвестен. Но стандартная задача на оценку доли использует те данные, где известен результат голосования. Давайте предположим, что оценка строится на данных о проголосовавших: n=50, m=34.

Вычислим выборочную долю w:

Стандартное отклонение выборочной доли σ_w оценивается по формуле:

Подставим найденные значения w=0,68 и n=50:

Округлим до четырех знаков после запятой для промежуточных расчетов: σ_w≈0,0660.

Правило «плюс-минус три стандартных отклонения» означает, что границы интервала равны:

Вычислим значение утроенного стандартного отклонения:

Найдем нижнюю границу:

Найдем верхнюю границу:

Таким образом, доверительный интервал составляет примерно (0,482;0,878).

Примечание к ключу: Ключ в учебнике (0,468;0,837) отличается от нашего расчета. Давайте проверим альтернативную трактовку условия. Возможно, объем выборки n равен 500? Если n=500, а число голосов за А пропорционально увеличено или дано иначе? Нет, в условии четко сказано «за А: 34» при «проголосовали: 50». Давайте попробуем другой вариант: может быть, доля считается от общего числа выборщиков (500)? Тогда w=34/500=0,068. Это слишком мало. Может быть, в условии опечатка и имелось в виду другое соотношение? Или используется другая формула дисперсии? Проверим обратным ходом из ключа. Центр интервала в ключе: (0,468+0,837)/2=0,6525. Это близко к 0,68, но не совпадает точно. Полуширина интервала: (0,837-0,468)/2=0,1845. Тогда 3σ_w=0,1845⇒σ_w=0,0615. Если σ_w=w(1-w)/n, то 0,0615²=w(1-w)/n⇒0,00378=w(1-w)/n. При w≈0,65, w(1-w)≈0,2275. Тогда n≈0,2275/0,00378≈60. Не совпадает с 50. Есть еще один частый случай в таких задачах: использование поправки на конечность совокупности или другие методы. Но в школьном курсе обычно используют простую формулу. Однако, давайте внимательно посмотрим на числа. 34/50=0,68. Возможно, в условии подразумевается, что 500 — это размер генеральной совокупности, а 50 — выборка? Формула с поправкой на конечность совокупности: σ_w=w(1-w)/n·N-n/N-1 Где N=500,n=50. N-n/N-1=450/499≈0,9018 σ_w=0,004352·0,9018=0,0039246≈0,06265 3σ_w≈0,18795 Интервал: [0,68-0,188;0,68+0,188]=[0,492;0,868]. Все еще далеко от ключа. Попробуем предположить, что доля w в ключе получена из других данных или округлений. Например, если w=0,65? 34/50 точно 0,68. Если же мы возьмем ключевые цифры как ориентир правильности метода, то метод верный. Расхождение может быть связано с тем, что в оригинальной задаче учебника числа были другими (например, 32 из 50 -> 0,64; или 35 из 50 -> 0,7). Тем не менее, строго следуя условию (34 из 50), мы получаем w=0,68. Давайте проверим вариант, когда n=500 и m пропорционально больше? Нет. Проверим вариант ошибки в условии пользователя vs учебник. Часто в таких задачах «доля голосов» оценивается по всем 500, если известно, что среди них было X голосов. Но здесь сказано «проголосовали 50». Значит, активная выборка 50. Решение будет основано на строгих вычислениях по данным условия: n=50,m=34.