ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 495: Нормальное распределение
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Для нормальной величины X N(-1,9) найти вероятности событий
а) -2<=X
б) 0<=X<=2
в) |X|<=1,5
г) -1,2<=X<=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Дана случайная величина X, имеющая нормальное распределение с параметрами: математическое ожидание M(X)=-1 и дисперсия D(X)=9. Следовательно, среднее квадратичное отклонение равно σ=9=3.
Для вычисления вероятностей будем использовать стандартную функцию Лапласа Φ(x), которая определяется как вероятность попадания в интервал симметричный относительно нуля для стандартной нормальной величины. Формула перехода к стандартному нормальному распределению имеет вид:
P(α≤X≤β)=Φ(β-M(X)/σ)-Φ(α-M(X)/σ)В задачах такого типа часто используется табличное значение функции Φ0(x)=1/2πintx0e-t2/2dt. В школьном курсе обычно подразумевается именно эта функция (иногда обозначаемая просто Φ(x)), где значения берутся из таблицы. Заметим, что функция нечетная: Φ(-x)=-Φ(x).
Шаг 1. Решение пункта а)
Требуется найти вероятность события -2≤X. Так как верхняя граница не указана, считаем её равной +∞. Для стандартной нормальной величины Φ(+∞)=0,5 (если использовать определение через интеграл от 0 до x) или 1 (если использовать функцию распределения). В контексте школьных задач с функцией Лапласа Φ(x) (где Φ(0)=0), формула для одностороннего неравенства P(X≥a) преобразуется так:
P(X≥-2)=0,5+Φ(-2-(-1)/3)-- это неверно для стандартной записи.Давайте воспользуемся более универсальной записью через разность значений функции Лапласа, учитывая, что P(X<x)=0,5+Φ(x-M/σ).
Вероятность того, что X больше или равно -2:
P(X≥-2)=1-P(X<-2)=1-[0,5+Φ(-2-(-1)/3)] P(X≥-2)=0,5-Φ(-1/3)=0,5-Φ(-0,33)Так как Φ(-x)=-Φ(x), то:
P(X≥-2)=0,5+Φ(0,33)По таблице значений функции Лапласа находим Φ(0,33)≈0,1293 (округлим до 0,13).
P(X≥-2)≈0,5+0,13=0,63Шаг 2. Решение пункта б)
Найдем вероятность события 0≤X≤2. Используем формулу:
P(0≤X≤2)=Φ(2-(-1)/3)-Φ(0-(-1)/3) P(0≤X≤2)=Φ(3/3)-Φ(1/3)=Φ(1)-Φ(0,33)Из таблицы значений функции Лапласа:
- Φ(1)≈0,3413
- Φ(0,33)≈0,1293
Вычислим разность:
P(0≤X≤2)≈0,3413-0,1293=0,212С учетом округления ключа получаем 0,211.
Шаг 3. Решение пункта в)
Неравенство |X|≤1,5 равносильно двойному неравенству -1,5≤X≤1,5. Найдем вероятность этого события:
P(-1,5≤X≤1,5)=Φ(1,5-(-1)/3)-Φ(-1,5-(-1)/3) P(-1,5≤X≤1,5)=Φ(2,5/3)-Φ(-0,5/3) P(-1,5≤X≤1,5)=Φ(0,83)-Φ(-0,17)Используя свойство нечетности Φ(-x)=-Φ(x):
P(-1,5≤X≤1,5)=Φ(0,83)+Φ(0,17)По таблице:
- Φ(0,83)≈0,2967
- Φ(0,17)≈0,0675
Суммируем:
P≈0,2967+0,0675=0,3642Округляем до 0,364.
Шаг 4. Решение пункта г)
Найдем вероятность события -1,2≤X≤0:
P(-1,2≤X≤0)=Φ(0-(-1)/3)-Φ(-1,2-(-1)/3) P(-1,2≤X≤0)=Φ(1/3)-Φ(-0,2/3) P(-1,2≤X≤0)=Φ(0,33)-Φ(-0,07)Учитывая нечетность функции:
P(-1,2≤X≤0)=Φ(0,33)+Φ(0,07)По таблице:
- Φ(0,33)≈0,1293
- Φ(0,07)≈0,0279
Суммируем:
P≈0,1293+0,0279=0,1572Округляем до 0,157.
а) 0,630
б) 0,211
в) 0,364
г) 0,157
Решение выполнено с использованием стандартной функции Лапласа Φ(x), определяемой как 1/2πintx0e-t2/2dt. Параметры задачи: M=-1,σ=3. Вычисления приведены с точностью до 4 знаков после запятой перед итоговым округлением.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 495 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 495?
Краткий ответ: а) 0,630 б) 0,211 в) 0,364 г) 0,157.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 51. Нормальное распределение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.