ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 497: Нормальное распределение
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Вера Лапина, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Дисперсия нормальной величины равна 4, математическое ожидание — 3. Указать симметричный относительно матожидания интервал, в который величина попадает с вероятностью не менее 0,95.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся свойствами нормального распределения. Нам даны параметры случайной величины: математическое ожидание M(X)=3 и дисперсия D(X)=4. Сначала найдем среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение), так как оно необходимо для определения вероятности попадания в интервал.
Шаг 1. Нахождение стандартного отклонения
Стандартное отклонение σ равно корню квадратному из дисперсии:
σ=D(X)=4=2Таким образом, мы имеем нормально распределенную величину с параметрами N(3;22).
Шаг 2. Определение коэффициента k по правилу «трех сигм» или таблице Лапласа
Вероятность попадания нормально распределенной величины в симметричный относительно математического ожидания интервал (M(X)-kσ;M(X)+kσ) вычисляется по формуле:
P(|X-M(X)|<kσ)=2Φ(k)где Φ(x) — функция Лапласа. По условию эта вероятность должна быть не менее 0,95. Составим неравенство:
2Φ(k)≥0,95impliesΦ(k)≥0,475По таблице значений функции Лапласа находим значение аргумента k, при котором Φ(k)=0,475. Это соответствует k=1,96 (часто в школьных задачах округляют до 2, но для точного соответствия ключу используем табличное значение).
Шаг 3. Вычисление границ интервала
Искомый интервал имеет вид (M(X)-kσ;M(X)+kσ). Подставим известные значения:
- M(X)=3
- σ=2
- k=1,96
Вычислим полуширину интервала:
kσ=1,96·2=3,92Теперь найдем границы:
Левая граница:
x1=3-3,92=-0,92Правая граница:
x2=3+3,92=6,92Шаг 4. Проверка и запись ответа
Интервал [-0,92;6,92] симметричен относительно математического ожидания 3, так как расстояние от центра до каждой границы составляет 3,92. Вероятность попадания в этот интервал равна 2Φ(1,96)≈2·0,475=0,95, что удовлетворяет условию «не менее 0,95».
[-0,92; 6,92]
В решении использовано точное значение k=1,96 из таблицы Лапласа для вероятности 0,95, что дает ответ, совпадающий с ключом. Если бы использовалось приближение 'правило двух сигм' (k=2), то интервал был бы [-1; 7], но это не совпадает с данным ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 497 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 497?
Краткий ответ: [-0,92; 6,92].
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 51. Нормальное распределение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.