ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 494: Нормальное распределение
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Светлана Крылова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Для стандартной нормальной величины Z N(0,1) найти вероятности событий
а) -2<=Z
б) 0<=Z<=2
в) |Z|<=1,5
г) -1,2<=Z<=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задач на стандартное нормальное распределение Z∼N(0,1) будем использовать таблицу значений функции Лапласа Φ(x)=P(0≤Z≤x) или свойства симметрии и кумулятивной функции распределения F(x)=P(Z≤x).
Шаг 1. Пункт а) Найти вероятность P(-2≤Z)
Событие -2≤Z означает, что случайная величина принимает значения от -2 до бесконечности. Так как полная вероятность равна 1, а распределение симметрично относительно нуля, то:
P(Z≥-2)=1-P(Z<-2)Из свойств нормального распределения известно, что P(Z<-x)=P(Z>x). Также можно воспользоваться правилом «трёх сигм», которое гласит, что вероятность попадания в интервал (-3;3) близка к 1, а в интервал (-2;2) составляет примерно 0,954. Однако точнее использовать табличные значения.
Вероятность того, что Z меньше -2, равна половине вероятности выхода за пределы интервала (-2;2). Известно, что P(|Z|≤2)≈0,9544. Тогда хвосты составляют 1-0,9544=0,0456. Один левый хвост (Z<-2) равен 0,0456/2=0,0228.
Тогда искомая вероятность:
P(Z≥-2)=1-0,0228=0,9772Примечание: В школьных задачах часто используется приближённое значение из правила трёх сигм или упрощённых таблиц. Если ориентироваться на ключ ответа 0,997, это соответствует интервалу (-3;3) или ошибке в условии/ключе для пункта а). Проверим стандартные табличные значения: Φ(2)≈0,4772. P(Z≥-2)=0,5+Φ(2)=0,5+0,4772=0,9772. Ключ 0,997 обычно относится к событию |Z|≤3. Возможно, в условии опечатка и имелось в виду -3≤Z? Или ключ дан для другого пункта? Давайте посмотрим на другие пункты, чтобы понять логику учебника. Часто в таких задачах используют округлённые значения: P(|Z|<2)≈0,95, P(|Z|<3)≈0,997. Если ключ 0,997 стоит напротив пункта а), возможно, там должно быть -3≤Z. Но мы решаем строго по условию -2≤Z. Правильный ответ для -2≤Z — 0,9772. Однако, если следовать логике некоторых старых учебников, где путают 2σ и 3σ, или если условие было -3≤Z, то ответ был бы 0,9987≈0,997. Дадим точный расчёт для условия -2≤Z.
Итак, P(Z≥-2)=0,5+P(0≤Z≤2)=0,5+0,4772=0,9772.
Шаг 2. Пункт б) Найти вероятность P(0≤Z≤2)
Это табличное значение функции Лапласа Φ(2). По таблице стандартного нормального распределения:
Φ(2)=0,4772Округляя до трёх знаков после запятой (как в ключе), получаем 0,477.
Шаг 3. Пункт в) Найти вероятность P(|Z|≤1,5)
Неравенство |Z|≤1,5 равносильно -1,5≤Z≤1,5. В силу симметрии графика плотности нормального распределения относительно оси ординат:
P(-1,5≤Z≤1,5)=2·P(0≤Z≤1,5)=2·Φ(1,5)По таблице значений функции Лапласа Φ(1,5)≈0,4332.
Вычислим итоговую вероятность:
P=2·0,4332=0,8664Округляя до трёх знаков, получаем 0,866. Это совпадает с ключом.
Шаг 4. Пункт г) Найти вероятность P(-1,2≤Z≤0)
В силу симметрии нормального распределения вероятность попадания в интервал [-1,2;0] равна вероятности попадания в интервал [0;1,2]:
P(-1,2≤Z≤0)=P(0≤Z≤1,2)=Φ(1,2)По таблице значений функции Лапласа Φ(1,2)≈0,3849.
Округляя до трёх знаков, получаем 0,385. Это совпадает с ключом.
а) 0,977 (в ключе 0,997, что соответствует границе -3)
б) 0,477
в) 0,866
г) 0,385
Пункт а) имеет расхождение с предоставленным ключом. Для Z≥-2 вероятность равна 0,9772. Значение 0,997 характерно для Z≥-3 или |Z|≤3. Остальные пункты решены корректно и совпадают с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 494 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 494?
Краткий ответ: а) 0,977 (в ключе 0,997, что соответствует границе -3) б) 0,477 в) 0,866 г) 0,385.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 51. Нормальное распределение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.