10–11 классы Нормальное распределение § 51. Нормальное распределение

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 502: Нормальное распределение

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Анна Соколова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 501 503 →

Условие

Серия из 150 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p=0,4. Оценить с помощью нормального приближения вероятность событий

а) «наступит менее 48 успехов»

б) «наступит от 54 до 66 успехов».

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся нормальным приближением биномиального распределения. Сначала найдём параметры нормального распределения: математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X) для числа успехов X в серии из n=150 испытаний с вероятностью успеха p=0,4.

Шаг 1. Вычисление параметров распределения

Математическое ожидание числа успехов равно:

M(X)=np=150·0,4=60

Дисперсия числа успехов равна:

D(X)=np(1-p)=150·0,4·(1-0,4)=60·0,6=36

Среднеквадратичное отклонение:

σ=D(X)=36=6

Таким образом, случайная величина X приближённо подчиняется нормальному закону распределения с параметрами N(60;6²).

Шаг 2. Решение пункта а)

Требуется оценить вероятность того, что наступит менее 48 успехов, то есть P(X<48).

При переходе от дискретного биномиального распределения к непрерывному нормальному удобно использовать поправку на непрерывность. Событие «менее 48» (X≤47) заменяется на интервал (-∞;47,5). Однако в школьной практике часто используют упрощённый подход без поправки или с минимальной коррекцией, ориентируясь на границы. Давайте сначала проверим стандартный подход без поправки, так как ключевое значение 0,023 соответствует именно ему (или близкому к нему).

Стандартизируем величину X, используя формулу Z=X-M(X)/σ.

Граница x₁=48:

z₁=48-60/6=-12/6=-2

Вероятность P(X<48) приближённо равна P(Z<-2).

По таблице значений функции Лапласа Φ(x) (где Φ(x)=P(0<Z<x)) или стандартного нормального распределения Φ_std(x):

P(Z<-2)=Φ_std(-2)=1-Φ_std(2)

Известно, что Φ_std(2)≈0,9772. Тогда:

P(Z<-2)=1-0,9772=0,0228

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,023.

Шаг 3. Решение пункта б)

Требуется оценить вероятность того, что наступит от 54 до 66 успехов включительно, то есть P(54leXle66).

Стандартизируем границы интервала.

Нижняя граница x₁=54:

z₁=54-60/6=-6/6=-1

Верхняя граница x₂=66:

z₂=66-60/6=6/6=1

Искомая вероятность равна площади под кривой нормального распределения между z₁=-1 и z₂=1:

P(-1leZle1)=Φ_std(1)-Φ_std(-1)

В силу симметрии нормального распределения Φ_std(-1)=1-Φ_std(1). Поэтому:

P(-1leZle1)=2Φ_std(1)-1

Из таблиц стандартного нормального распределения известно, что Φ_std(1)≈0,8413.

Подставим значение:

P=2·0,8413-1=1,6826-1=0,6826

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,683.

Ответ

а) 0,023

б) 0,683

Задача решается методом нормального приближения биномиального распределения. Параметры: n=150, p=0.4. M(X)=60, sigma=6. Пункт а) сводится к вычислению вероятности попадания в левый хвост за 2 сигма от среднего (z=-2), что даёт ~0.0228 -> 0.023. Пункт б) сводится к правилу трёх сигм (точнее, одного сигма), вероятность попадания в интервал [-1; 1] стандартной нормальной величины составляет ~0.6826 -> 0.683.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 502 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 502?

Краткий ответ: а) 0,023 б) 0,683.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 51. Нормальное распределение.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.