ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 503: Нормальное распределение
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Илья Морозов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Опыт Бюффона: монету бросили 4040 раз, орёл выпал 2048 раз (отклонение от среднего равно 28). С помощью нормального приближения оценить вероятность того, что число орлов отклонится от математического ожидания на 28 или больше.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся нормальным приближением биномиального распределения. Пусть n — число испытаний, p — вероятность успеха (выпадения орла), q=1-p. В опыте Бюффона монета симметрична, поэтому p=q=0,5.
Шаг 1. Вычисление математического ожидания и дисперсии
Математическое ожидание числа появлений орла равно:
M(X)=np=4040·0,5=2020Дисперсия случайной величины X равна:
D(X)=npq=4040·0,5·0,5=1010Среднеквадратичное отклонение:
σ=D(X)=1010≈31,78Шаг 2. Формулировка события и переход к стандартному нормальному закону
Нам нужно оценить вероятность того, что число орлов отклонится от математического ожидания на 28 или больше. То есть нас интересует событие |X-M(X)|≥28.
Используя нормальное приближение, мы можем стандартизировать случайную величину. Вероятность отклонения оценивается через функцию Лапласа Φ(x) (или интеграл вероятности). Обычно в школьном курсе используется формула для вероятности попадания в интервал или вне его:
P(|X-M(X)|≥k)≈2(1-Φ(k/σ))где k=28, а Φ(x)=1/2πintx0e-t2/2dt — функция Лапласа (в некоторых учебниках определяется как Φ0(x)=1/2πintx-∞e-t2/2dt, тогда формула будет другой, но суть та же: находим площадь «хвостов»).
Вычислим аргумент функции:
x=k/σ=28/1010≈28/31,78≈0,881Шаг 3. Оценка вероятности по таблице значений функции Лапласа
Нам нужно найти значение Φ(0,881). По таблицам значений функции Лапласа:
- Φ(0,88)≈0,3106
- Φ(0,89)≈0,3133
Интерполируя или округляя до 0,88, возьмём Φ(0,881)≈0,311.
Тогда вероятность того, что отклонение меньше 28, равна:
P(|X-M(X)|<28)≈2Φ(0,881)≈2·0,311=0,622Вероятность того, что отклонение будет 28 или больше (то есть попадание в хвосты):
P(|X-M(X)|≥28)=1-P(|X-M(X)|<28)≈1-0,622=0,378Проверка и вывод
Полученное значение 0,378 совпадает с ориентировочным ответом. Это означает, что при бросании симметричной монеты 4040 раз вероятность получить отклонение от среднего (2020) на 28 и более составляет примерно 37,8%. Это довольно высокая вероятность, что подтверждает естественность наблюдаемого результата в опыте Бюффона.
0,378
В решении использовано нормальное приближение биномиального распределения. Ключевые моменты: вычисление сигмы, стандартизация отклонения (28 / sqrt(1010)), использование таблицы функции Лапласа для нахождения площади под кривой. Ответ округлен до трех знаков после запятой.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 503 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 503?
Краткий ответ: 0,378.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 51. Нормальное распределение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.